2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(四)

.2019-2020年高考数学压轴题集锦导数及其应用（四）23.已知函数（且）（）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；（）令，设函数，且，求证：24.已知函数.(1)时，证明：；(2)当时，直线和曲线切于点，求实数的值；(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.25.已知函数(为常数)有两个不同的极值点.(1)求实数的取值范围；(2)记的两个不同的极值点分别为，若不等式恒成立，求实数的取值范围.26.已知函数（）.（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，恒成立，求的最大整数值.27.已知函数.（1）求函数的极值；（2）当时，若存在实数使得不等式恒成立，求实数的取值范围.28.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且.（1）求的表达式；（2）若直线，把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值.29.已知函数（）.（1）若曲线在点处的切线经过点，求的值；（2）若在区间上存在极值点，判断该极值点是极大值点还是极小值点，并求的取值范围；（3）若当时，恒成立，求的取值范围.30.已知函数，.(1)若曲线与曲线在点处的切线方程相同，求实数的值；(2)若恒成立，求证：当时，.31.，其中是自然对数的底数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若为整数，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.32.已知f（x）=2xlnx，g（x）=x2+ax3（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在x（0，+），使f（x）g（x）成立，求实数a的取值范围33.已知数列xn按如下方式构成：xn（0，1）（nN*），函数f（x）=ln（）在点（xn，f（xn）处的切线与x轴交点的横坐标为xn+1（）证明：当x（0，1）时，f（x）2x（）证明：xn+1xn3（）若x1（0，a），a（0，1），求证：对任意的正整数m，都有loga+loga+loga（）n2（nN*）34.已知函数f（x）= （）求f（ ）及x2，3时函数f（x）的解析式（）若f（x）对任意x（0，3恒成立，求实数k的最小值35.已知函数，其中（）若，求在区间上的最大值和最小值（）解关于的不等式36.若实数，满足，则称比靠近（）若比靠近，求实数有取值范围（）（i）对，比较和哪一个更靠近，并说明理由（ii）已知函数的通项公式为，证明：37.已知函数（是自然对数的底数，为常数）（1）若函数，在区间1,+)上单调递减，求的取值范围（2）当时，判断函数在(0,1)上是否有零点，并说明理由38.已知函数（1）求函数的极值点（2）设函数，其中，求函数在上的最小值39.已知函数，（1）求函数的图象在点处的切线方程（2）求函数的单调递增区间40.设mR，函数f（x）=exm（x+1）+m2（其中e为自然对数的底数）（）若m=2，求函数f（x）的单调递增区间；（）已知实数x1，x2满足x1+x2=1，对任意的m0，不等式f（x1）+f（0）f（x2）+ f（1）恒成立，求x1的取值范围；（）若函数f（x）有一个极小值点为x0，求证f（x0）3，（参考数据ln61.79）41.已知函数f（x）=x2x3，g（x）=ex1（e为自然对数的底数）（1）求证：当x0时，g（x）x+x2；（2）记使得kf（x）g（x）在区间0，1恒成立的最大实数k为n0，求证：n04，642.设函数，其中，函数有两个极值点，且（1）求实数的取值范围；（2）设函数，当时，求证：43.已知的两个极值点为，记A（，f（），B（，f（）（）若函数f（x）的零点为，证明：+=2（） 设点 C(,0)，D(,0)，是否存在实数t，对任意m0，四边形ACBD均为平行四边形若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由44.已知函数，函数其中（）求的极值；（）求在上的最大值(为自然对数底数).45.已知函数（）若在处取得极值，求实数的值；（）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.参考答案23.（），由为增函数可得，恒成立，则由，设，则，若由和可知在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，当时，易知，当时，则，这与矛盾，从而不能使恒成立，所以（），因为，所以，所以，所以，令，在上增，在上减，所以，整理得，解得或（舍），所以得证24.(1)记，令得，当，递减；当，递增，得.(2)切点为，则，由(1)得.所以.(3)由题意可得恒成立，所以，下求的最小值，由(1)知且.所以，递减，.所以.25.(1).由函数(为常数)有两个不同的极值点.即方程有两个不相等的正实根.，.(2)由(1)知，所以恒成立.令，.，递增，.26.（1）的定义域为，且.当时，在上恒成立，函数在上单调递减.在上没有极值点；当时，令得；列表所以当时，取得极小值.综上，当时，在上没有极值点；当时，在上有一个极值点.（2）对，恒成立等价于对恒成立，设函数（），则（），令函数，则（），当时，所以在上是增函数，又，所以存在，使得，即，且当时，即，故在在上单调递减；当时，即，故在上单调递增；所以当时，有最小值，由得，即，所以，所以，又，所以实数的最大整数值为3.27.（I）由题意得， 当时，则，此时无极值； 当时，令，则；令，则；在上递减，在上递增； 有极小值，无极大值； （II）当时，由（1）知，在上递减，在上递增，且有极小值. 当时，此时，不存在实数，使得不等式恒成立； 当时，在处的切线方程为，令，则， 令，则，令，则；令，则；， 当，时，不等式恒成立，符合题意. 由，得实数的取值范围为.28.（I）设，则 由已知，得， 又方程有两个相等的实数根，即故； （II）依题意，得，整理，得，即， 29.（1）对求导，得.因此.又，所以，曲线在点处的切线方程为.将，代入，得.解得.（2）的定义域为.设的一个极值点为，则，即.所以.当时，；当时，.因此在上为减函数，在上为增函数.所以是的唯一的极值点，且为极小值点.由题设可知.因为函数在上为减函数，所以，即.所以的取值范围是.（3）当时，恒成立，则恒成立，即对恒成立.设，求导得.设（），显然在上为减函数.又，则当时，从而；当时，从而.所以在上是增函数，在上是减函数.所以，所以，即的取值范围为.30.(1)由，.得，解得，.(2)证明：设，则，当时，函数在上单调递增，不满足恒成立.当时，令，由，得，或(舍去)，设，知函数在上单调递减，在上单调递增，故，即，得.又由，得，所以，令，.当时，函数单调慈善当时，函数单调递增；所以，即，故当时，得.31.（1），若，则恒成立，所以在区间上单调递增若，当时，在上单调递增（2）由于，所以，当时，故，令（）则函数在上单调递增，而，所以在上存在唯一的零点.故在上存在唯一的零点.设此零点为，则.当时，当时，；所以在上的最小值为，由于，可得所以，所以整数的最大值为2.32.【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于a（2ln x+x+）min，记h（x）=2ln x+x+，x（0，+），根据函数的单调性判断即可【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=2（ln x+1），令f（x）=0，得x=，当x时，f（x）0，当x时，f（x）0，所以f（x）在上单调递减；在上单调递增（2）存在x（0，+），使f（x）g（x）成立，即2xln xx2+ax3在x（0，+）能成立，等价于a2ln x+x+在x（0，+）能成立，等价于a（2ln x+x+）min记h（x）=2ln x+x+，x（0，+），则h（x）=+1=当x（0，1）时，h（x）0，当x（1，+）时，h（x）0，所以当x=1时，h（x）取最小值为4，故a433.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与函数的综合【分析】（）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）2x即可；（）求出函数f（x）的导数，求出曲线方程，得到xn+1=ln（1）+xn，从而证出结论即可；（）得到bk=a=bk1bk2b0，问题转化为b0，根据（）证出即可【解答】证明：（）设g（x）=ln（1+x）ln（1x）2x，则g（x）=，故x（0，1）时，g（x）0，函数g（x）在（0，1）递增，g（x）g（0）=0，即f（x）2x；（）由f（x）=+=，故曲线在点（xn，f（xn）处的切线方程是：y=（xxn）+f（xn），令y=0，则xn+1=xn+f（xn）（1），则xn+1=ln（1）+xn，由（）及10得：xn+1（2xn）（1）+xn=xn3；（）令=bk，（k=0，1，2，m），xn+k，且a（0，1），xn（0，1），logaxn+kloga，从而bk=a=bk1bk2b0，loga+loga+loga=b0+b1+bmb0（1+）=b0（1）b0，要证loga+loga+loga（）n2（nN*），只需b0，即证b0axn，由（）以及x1（0，a）得：xn，故原结论成立34.【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用【分析】（）由函数f（x）=可求f（）的值，由x2，3x20，1，可求得此时函数f（x）的解析式；（）依题意，分x（0，1、x（1，2、x（2，3三类讨论，利用导数由f（x）对任意x（0，3恒成立，即可求得实数k的最小值【解答】解：（）f（）=f（）=f（）=当x2，3时，x20，1，所以f（x）= （x2）（x2）2=（x2）（3x）（）当x（0，1时，f（x）=xx2，则对任意x（0，1，xx2恒成立k（x2x3）max，令h（x）=x2x3，则h（x）=2x3x2，令h（x）=0，可得x=，当x（0，）时，h（x）0，函数h（x）单调递增；当x（，1）时，h（x）0，函数h（x）单调递减，h（x）max=h（）=；当x（1，2时，x1（0，1，所以f（x）= （x1）（x1）2恒成立k（x33x2+2x），x（1，2令t（x）=x33x2+2x，x（1，2则t（x）=3x26x+2=3（x1）21，当x（1，1+）时，t（x）单调递减，当x（1+，2时，t（x）单调递增，t（x）max=t（2）=0，k0（当且仅当x=2时取“=”）；当x（2，3时，x20，1，令x2=t（0，1，则k（t+2）（tt2）=g（t），在t（0，1恒成立g（t）=（3t2+2t2）=0可得，存在t0，1，函数在t=t0时取得最大值而t0，1时，h（t）g（t）=（t2t3）+（t+2）（t2t）=t（1t）（2t1）0，所以，h（t）maxg（t）max，当k时，kh（t）maxg（t）max成立，综上所述，k0，即kmin=035.见解析（），极小，而，（）时，此时解集为：或，时，则，解集为，无解，解集为综上：，或，36.（），（），记，在单减，即，比靠近，由得：，又，37.见解析解：（）由得，即，；，在上单调递减，又在上单调递减；，即实数的取值范围是（）假设函数在区间上有零点，即存在，使得，即，记若，则，即，由于，有，即证在上恒成立，令，则，当时，当时，当时，单调递减，当时，单调递增而，在上存在唯一的实数，使得，在上单调递增，在上单调递减，而，在上恒成立，即恒成立，若，则，即，由于，有，即证在恒成立，令，则，当，单调递减；当，单调递增，而，在上存在唯一的实数，使得，在上单调递减，在上单调递增，又，故在上成立，即成立，综上所述，当时，函数在区间上有零点38.见解析解：（）函数的定义域为，令，得，令，得，函数在单调递减，在单调递增，是函数的极小值点，极大值点不存在（）由题意得，令得当时，即时，在上单调递增，在上的最小值为；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为；当，即时，在区间上单调递减，在上的最小值为，综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为39.见解析解：（），得，函数在处的切线方程为（），令，得，令，得，又的定义域是，函数的单调增区间为40.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（）问题转化为2（x11）m（）+e10对任意m0恒成立，令g（m）=2（x11）m（）+e1，得到关于x1的不等式组，解出即可；（）求出f（x0）的解析式，记h（m）=m2mlnm，m0，根据函数的单调性求出h（m）的取值范围，从而求出f（x0）的范围，证明结论即可【解答】解：（）m=2时，f（x）=ex2x1，f（x）=ex2，令f（x）0，解得：xln2，故函数f（x）在ln2，+）递增；（）不等式f（x1）+f（0）f（x2）+f（1）恒成立，x1+x2=1，2（x11）m（）+e10对任意m0恒成立，令g（m）=2（x11）m（）+e1，当2（x11）=0时，g（m）=00不成立，则，解得：x11；（）由题意得f（x）=exm，f（x0）=0，故=m，f（x0）=m（x0+1）+m2=m2mlnm，m0，记h（m）=m2mlnm，m0，h（m）=mlnm1，h（m）=，当0m2时，h（m）0，当m2时，h（m）0，故函数h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，如图所示：h（m）min=h（2）=ln20，又当m0时，h（m）0，m+，h（m）0，故函数h（m）=0有2个根，记为m1，m2（m12m26），（h（6）0），故h（m）在（0，m1）递增，在（m1，m2）递减，在（m2，+）递增，又当m0时，h（m）0，h（m）在m2处取极小值，由h（m2）=0， m2lnm21=0，lnm2=m21，故h（m2）=m2lnm2=m2（m21）=+m2=+1（3，1），故f（x0）341.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）构造函数h（x）=g（x）x，求出函数导函数，对导函数求导后可得导函数的单调性，进一步确定导函数的符号，得到函数h（x）的单调性，可得h（x）h（0）=0得答案；（2）由（1）知，当kf（x）时，必有kf（x）g（x）成立，然后利用分析法证明当x0，1时，4f（x），当k6时，取特值x=说明不等式kf（x）g（x）在区间0，1上不恒成立，从而说明n04，6【解答】证明：（1）设h（x）=g（x）x，即h（x）=，则h（x）=ex1x，h（x）=ex1，当x0时，h（x）0，h（x）为增函数，又h（0）=0，h（x）0h（x）在0，+）上为增函数，则h（x）h（0）=0，g（x）x+；（2）由（1）知，当kf（x）时，必有kf（x）g（x）成立下面先证：当x0，1时，4f（x），当x=0或1时，上式显然成立；当x（0，1）时，要证4f（x），即证4（xx2），也就是证8x27x+200当k4时，必有kf