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.参考答案一、 填空题:(共54分,第16题每题4分;第712题每题5分)1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、 选择题:(共20分,每题5分)13. B 14. A 15. C 16. D 三、 解答题17、解:(1)由,得,(2分)因为,所以,故,(4分)所以, (6分)(2)由余弦定理,得, (8分),得, (10分)由解得或 (14分)18、解:(1) 因为是上的点,且在平面上的射影是,即是在平面上的射影,于是是与底面所成的角,而,所以. (2分)如图,以为原点,直线为轴,直线为轴,直线为轴,建立空间直角坐标系.连结,因为是的中点,是中点,所以, (4分)于是,令.设是平面的法向量,则,于是,即,又因为不在平面内,所以与平面平行. (6分)(2)由于,于是. (8分)设平面的法向量,因为,于是,取,则平面的一个法向量为.(10分)因为,于是,则, (11分)所以点到平面的距离,(13分)从而的取值范围是. (14分)19、解:(1)设机器鼠在点处,则由题意,得所以,为以、为焦点,实轴长为8,焦距为10 的双曲线右支上的点,(2分)该双曲线的方程为, (4分)又,解得,即在时刻时,机器鼠所在位置的坐标为. (6分)(2)与直线平行且距离不超过的直线方程为(8分)考虑与是否有交点, (10分)因为,所以 (12分)所以,与没有交点,即机器鼠保持目前的运动轨迹不变,没有“被抓”风险. (14分)20、解:(1)因为存在等差数列, (2分)满足,所以数列是“等差分割数列”. (4分)(2)当时,若存在公差为,项数为项的等差数列满足:,其中,则有,(6分)于是,所以,与矛盾, (8分)即时,不是“等差分割数列”. (10分)(3)由题意知,,于是一方面,所以. (11分)另一方面, (13分)由于,又因为,于是,所以.(15分)综上所述,. (16分)21、解:(1)因为,当时,单调递增;当时,单调递减.所以 (2分) 当时,;当时,值域为 (4分)(2)时,恒成立,等价于对恒成立,即 ,即对恒成立, (5分)在上递增时, (7分)又在上递减,时, (9分) (10分)(3) 函数图像分别关于直线对称.当时,若 恒成立,等价于恒成立,即即,即恒成立.当时,设,故成立. (12分)当时, ,方程最多有两个解. 如下图. 故关于的方程恰有三个不同的解,则 (14分)当时,当时,从而当时,及由得显然表明在与之间在时,递增, 递减;在时,递增, 递减综上可知, (16分)在上单调减,在
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