2019年浙江省高考数学试卷

.2019年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（4分）已知全集U1，0，1，2，3，集合A0，1，2，B1，0，1，则（UA）B（）A1B0，1C1，2，3D1，0，1，32（4分）渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是（）AB1CD23（4分）若实数x，y满足约束条件则z3x+2y的最大值是（）A1B1C10D124（4分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A158B162C182D3245（4分）若a0，b0，则“a+b4”是“ab4”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6（4分）在同一直角坐标系中，函数y，y1oga（x+）（a0且a1）的图象可能是（）ABCD7（4分）设0a1随机变量X的分布列是X0a1P则当a在（0，1）内增大时，（）AD（X）增大BD（X）减小CD（X）先增大后减小DD（X）先减小后增大8（4分）设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）记直线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角PACB的平面角为，则（）A，B，C，D，9（4分）设a，bR，函数f（x）若函数yf（x）axb恰有3个零点，则（）Aa1，b0Ba1，b0Ca1，b0Da1，b010（4分）设a，bR，数列an满足a1a，an+1an2+b，nN*，则（）A当b时，a1010B当b时，a1010C当b2时，a1010D当b4时，a1010二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11（4分）复数z（i为虚数单位），则|z| 12（6分）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r若直线2xy+30与圆C相切于点A（2，1），则m ，r 13（6分）在二项式（+x）9展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 14（6分）在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，若BDC45，则BD ，cosABD 15（4分）已知椭圆+1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是 16（4分）已知aR，函数f（x）ax3x若存在tR，使得|f（t+2）f（t）|，则实数a的最大值是 17（6分）已知正方形ABCD的边长为1当每个i（i1，2，3，4，5，6）取遍1时，|1+2+3+4+5+6|的最小值是 ，最大值是 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（14分）设函数f（x）sinx，xR（）已知0，2），函数f（x+）是偶函数，求的值；（）求函数yf（x+）2+f（x+）2的值域19（15分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点（）证明：EFBC；（）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值20（15分）设等差数列an的前n项和为Sn，a34，a4S3数列bn满足：对每个nN*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列（）求数列an，bn的通项公式；（）记cn，nN*，证明：c1+c2+cn2，nN*21如图，已知点F（1，0）为抛物线y22px（p0）的焦点过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为S1，S2（）求p的值及抛物线的准线方程；（）求的最小值及此时点G的坐标22（15分）已知实数a0，设函数f（x）alnx+，x0（）当a时，求函数f（x）的单调区间；（）对任意x，+）均有f（x），求a的取值范围注：e2.71828为自然对数的底数2019年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（4分）已知全集U1，0，1，2，3，集合A0，1，2，B1，0，1，则（UA）B（）A1B0，1C1，2，3D1，0，1，3【解答】解：UA1，3，（UA）B1，31，0，l1故选：A2（4分）渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是（）AB1CD2【解答】解：根据渐近线方程为xy0的双曲线，可得ab，所以c则该双曲线的离心率为 e，故选：C3（4分）若实数x，y满足约束条件则z3x+2y的最大值是（）A1B1C10D12【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z3x+2y为yx+z，由图可知，当直线yx+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10故选：C4（4分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A158B162C182D324【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即27，高为6，则该柱体的体积是V276162故选：B5（4分）若a0，b0，则“a+b4”是“ab4”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：a0，b0，4a+b2，2，ab4，即a+b4ab4，若a4，b，则ab14，但a+b4+4，即ab4推不出a+b4，a+b4是ab4的充分不必要条件故选：A6（4分）在同一直角坐标系中，函数y，y1oga（x+）（a0且a1）的图象可能是（）ABCD【解答】解：由函数y，y1oga（x+），当a1时，可得y是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y1oga（x+），是递增函数，图象恒过（，0）；当1a0时，可得y是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y1oga（x+），是递减函数，图象恒过（，0）；满足要求的图象为：D故选：D7（4分）设0a1随机变量X的分布列是X0a1P则当a在（0，1）内增大时，（）AD（X）增大BD（X）减小CD（X）先增大后减小DD（X）先减小后增大【解答】解：E（X）0+a+1，D（X）（）2+（a）2+（1）2（a+1）2+（2a1）2+（a2）2（a2a+1）（a）2+0a1，D（X）先减小后增大故选：D8（4分）设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）记直线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角PACB的平面角为，则（）A，B，C，D，【解答】解：方法一、如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，作DEAC于E，易得PEVG，过P作PFAC于F，过D作DHAC，交BG于H，则BPF，PBD，PED，则coscos，可得；tantan，可得，方法二、由最小值定理可得，记VACB的平面角为（显然），由三正弦定理可得；方法三、（特殊图形法）设三棱锥VABC为棱长为2的正四面体，P为VA的中点，易得cos，可得sin，sin，sin，当AP时，由余弦定理可得PB，cos，sin，可得，故C错误故选：B9（4分）设a，bR，函数f（x）若函数yf（x）axb恰有3个零点，则（）Aa1，b0Ba1，b0Ca1，b0Da1，b0【解答】解：当x0时，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得x；yf（x）axb最多一个零点；当x0时，yf（x）axbx3（a+1）x2+axaxbx3（a+1）x2b，yx2（a+1）x，当a+10，即a1时，y0，yf（x）axb在0，+）上递增，yf（x）axb最多一个零点不合题意；当a+10，即a1时，令y0得xa+1，+），函数递增，令y0得x0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数yf（x）axb恰有3个零点函数yf（x）axb在（，0）上有一个零点，在0，+）上有2个零点，如右图：0且，解得b0，1a0，b（a+1）3（a+1）3b0，1a1故选：C10（4分）设a，bR，数列an满足a1a，an+1an2+b，nN*，则（）A当b时，a1010B当b时，a1010C当b2时，a1010D当b4时，a1010【解答】解：对于B，令0，得x，取，当b时，a1010，故B错误；对于C，令x2x20，得x2或x1，取a12，a22，an210，当b2时，a1010，故C错误；对于D，令x2x40，得，取，10，当b4时，a1010，故D错误；对于A，an+1an0，an递增，当n4时，an+1+，（）6，a1010故A正确故选：A二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11（4分）复数z（i为虚数单位），则|z|【解答】解：z|z|故答案为：12（6分）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r若直线2xy+30与圆C相切于点A（2，1），则m2，r【解答】解：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得m2圆心为（0，2），则半径r故答案为：2，13（6分）在二项式（+x）9展开式中，常数项是16，系数为有理数的项的个数是5【解答】解：二项式的展开式的通项为由r0，得常数项是；当r1，3，5，7，9时，系数为有理数，系数为有理数的项的个数是5个故答案为：，514（6分）在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，若BDC45，则BD，cosABD【解答】解：在直角三角形ABC中，AB4，BC3，AC5，sinC，在BCD中，可得，可得BD；CBD135C，sinCBDsin（135C）（cosC+sinC）（+），即有cosABDcos（90CBD）sinCBD，故答案为：，15（4分）已知椭圆+1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是【解答】解：椭圆1的a3，b，c2，e，设椭圆的右焦点为F，连接PF，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得|PF|2|AO|4，设P的坐标为（m，n），可得3m4，可得m，n，由F（2，0），可得直线PF的斜率为另解：由|PF|2|AO|4，|PF|642，|FF|2c4，可得cosPFF，sinPFF，可得直线PF的斜率为故答案为：16（4分）已知aR，函数f（x）ax3x若存在tR，使得|f（t+2）f（t）|，则实数a的最大值是【解答】解：存在tR，使得|f（t+2）f（t）|，即有|a（t+2）3（t+2）at3+t|，化为|2a（3t2+6t+4）2|，可得2a（3t2+6t+4）2，即a（3t2+6t+4），由3t2+6t+43（t+1）2+11，可得0a，可得a的最大值为故答案为：17（6分）已知正方形ABCD的边长为1当每个i（i1，2，3，4，5，6）取遍1时，|1+2+3+4+5+6|的最小值是0，最大值是2【解答】解：正方形ABCD的边长为1，可得+，0，|1+2+3+4+5+6|1+234+5+5+66|（13+56）+（24+5+6）|，由于i（i1，2，3，4，5，6）取遍1，可得13+560，24+5+60，可取561，131，21，41，可得所求最小值为0；由13+56，24+5+6的最大值为4，可取21，41，561，11，31，可得所求最大值为2故答案为：0，2三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（14分）设函数f（x）sinx，xR（）已知0，2），函数f（x+）是偶函数，求的值；（）求函数yf（x+）2+f（x+）2的值域【解答】解：（1）由f（x）sinx，得f（x+）sin（x+），f（x+）为偶函数，（kZ），0，2），或，（2）yf（x+）2+f（x+）2sin2（x+）+sin2（x+）1，xR，函数yf（x+）2+f（x+）2的值域为：19（15分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点（）证明：EFBC；（）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值【解答】方法一：证明：（）连结A1E，A1AA1C，E是AC的中点，A1EAC，又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，A1E平面ABC，A1EBC，A1FAB，ABC90，BCA1F，BC平面A1EF，EFBC解：（）取BC中点G，连结EG、GF，则EGFA1是平行四边形，由于A1E平面ABC，故A1EEG，平行四边形EGFA1是矩形，由（）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上，连结A1G，交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成角（或其补角），不妨设AC4，则在RtA1EG中，A1E2，EG，O是A1G的中点，故EOOG，cosEOG，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为方法二：证明：（）连结A1E，A1AA1C，E是AC的中点，A1EAC，又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，A1E平面ABC，如图，以E为原点，在平面ABC中，过E作AC的垂线为x轴，EC，EA1所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，设AC4，则A1（0，0，2），B（），B1（），F（），C（0，2，0），（），（），由0，得EFBC解：（）设直线EF与平面A1BC所成角为，由（）得（），（0，2，2），设平面A1BC的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，），sin，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为20（15分）设等差数列an的前n项和为Sn，a34，a4S3数列bn满足：对每个nN*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列（）求数列an，bn的通项公式；（）记cn，nN*，证明：c1+c2+cn2，nN*【解答】解：（）设数列an的公差为d，由题意得，解得a10，d2，an2n2，nN*Snn2n，nN*，数列bn满足：对每个nN*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列（Sn+1+bn）2（Sn+bn）（Sn+2+bn），解得，解得bnn2+n，nN*（）证明：，nN*，用数学归纳法证明：当n1时，c102，不等式成立；假设nk，（kN*）时不等式成立，即c1+c2+ck2，则当nk+1时，c1+c2+ck+ck+12+22+22，即nk+1时，不等式也成立由得c1+c2+cn2，nN*21如图，已知点F（1，0）为抛物线y22px（p0）的焦点过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为S1，S2（）求p的值及抛物线的准线方程；（）求的最小值及此时点G的坐标【解答】解：（）由抛物线的性质可得：1，p2，抛物线的准线方程为x1；（）设A（x