信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆 (2).ppt

4.1.2圆的一般方程,将圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，得,可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：,（1）x2和y2的系数相同且不为0，即A=C0；,（2）没有xy这样的二次项，即B=0.,（3）D2+E2-4AF0？,表示圆,二元二次方程,解：(1)点(0，0),(2)以(1，-2)为圆心，为半径的圆,为半径的圆,例1.,(3)当时，以(-a，0)为圆心，,当时，表示(0，0)点,练2.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m),解：建系如图，,解得：b=-10.5，r2=14.52.,所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52,把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得(-2)2+(y+10.5)2=14.52,答：支柱A2P2的长度约为3.86m。,由题意可设圆的方程：,x2+(y-b)2=r2,因P(0，4)、B(10，0)都在圆上，,练2.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m),y,x,思考,利用圆的几何性质，你能否用直线方程求出圆心坐标？进而写出圆的方程？,C1,说明：一般地，求圆的方程有两种方法：,（1）待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程，利用条件求系数.,（2）几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解.,3.圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为：,方程特征：直接体现了圆上点的坐标x、y的间接关系.,圆的参数方程,解1：设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，,根据已知条件得,解得,故圆的方程为(x1)2(y4)28.,4.求圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)的圆的方程,4.求圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)的圆的方程,解2:,如图，设圆心(x0，4x0)，,依题意得,x01，,即圆心为(1，4)，,半径,故圆的方程为(x1)2(y4)28.,.,C,练习2.,解1：,设M(x，y)，,Q(x0，y0)，,则由线段中点坐标公式得,即,点Q在圆x2+y2=16上，,即,（相关点法）,所求点M的轨迹方程.,即,练习2.,.,.,由中点坐标公式得,消参数得,点M的轨迹参数方程为：,解2：,设M(x，y)，,Q(x0，y0)，,点Q在圆x2+y2=16上，,即,Q(4cos，4sin)，,又,P(10，0),即为所求点M的轨迹方程.,（参数法）,练习2.,解3：,设M(x，y)，,N,取OP的中点N，,.,则N(5,0)，,连接MN,M、N分别是PQ、PO的中点,MN/QO,动点M的轨迹是以N(5,0)为圆心,NM2为半径的圆，,其轨迹方程为,且,.,（几何法）,练习3.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点轨迹.,x2y2a2.,解：,如图，设线段AB的中点为M，,即RtAOB的斜边上的中线长a.,它到原点O的距离为定长，,则由题意点M运动时，,线段AB的中点M的轨迹是以O为圆心,a为半径长的圆，,其轨迹方程为,练习4.ABC的顶点B、C的坐标分别是(0,0)和(4,0),AB边上中线的长为3，求顶点A的轨迹方程.,解:,设点A(x,y),线段AB中点为M,则,即,为所求顶点A的轨迹的方程.,.,变式:求与两个定点O(0，0)、A(3，0)距离的比为,的动点的轨迹，并画出曲线.,A,.,M,解：,设点M(x，y)是曲线上的任意一点，,则,即,即,当时，,动点M的轨迹是线段OA的中垂线.,当时，,即,以,圆心，,以,为半径的圆.,动点M的轨迹是,思考:,，则动点P的轨迹是什么？,思考:,，则动点P的轨迹是什么？,（3）若0，,（1）若1，,则点P的轨迹是线段AB的中垂线.,（2）若0且1，,则点P的轨迹是圆.,则点P的轨迹不存在.,巩固1.已知定点A(3，0)，P是圆上x2+y2=1上的动点，AOP的平分线交PA于N，求点N的轨迹.,解1：,设N(x，y)，,P(x0，y0)，,则由角平分线性质得,即,点N轨迹是以(,0)为圆心、为半径的圆.,解2：,设N(x，y)，,点N轨迹是以(,0)为圆心、为半径的圆.,巩固1.已知定点A(3，0)，P是圆上x2+y2=1上的动点，AOP的平分线交PA于N，求点N的轨迹.,则由角平分线性质得,又,巩固2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动,问线段AB的中点M的轨迹是什么？,解1：,设M(x，y)，,A(x0，y0)，,则由线段中点坐标公式得,即,点A在圆(x1)2y24上运动，,即,线段AB的中点M轨迹是以为圆心、1为半径的圆.,巩固2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动,问线段AB的中点M的轨迹是什么？,解2：,设M(x，y)，,A(x0，y0)，,点A在圆(x1)2y24上，,又B(4,3)，,由中点坐标公式得,消参数得,线段AB的中点M轨迹是以为圆心、1为半径的圆.,解3：,巩固2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动,问线段AB的中点M的轨迹是什么？,线段AB的中点M轨迹是以为圆心、1为半径的圆.,1.圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为：,方程特征：明确给出了圆的大小（半径）和圆的位置（圆心）.,_几何特征.,2.圆的一般方程为：,方程特征：突出了圆方程形式上的特点.,3.圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为：,方程特征：直接体现了圆上点的坐标x、y的间接关系.,_代数特征.,小结圆的方程：,4.以M(x1,y1)、N(x2,y2)为