数学北师大版高中二年级选修1 北师大+数学+抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程（一）,生活中存在着各种形式的抛物线,L是定直线,F是定点,当点M在平面上运动且满足以下几何条件时,动点M的轨迹是什么曲线?,问题,轨迹是什么？,画抛物线,平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点。定直线L叫做抛物线的准线。,抛物线的定义,求曲线方程的一般步骤是：,1、建系,2、设动点为(x,y),3、列方程,4、化简,K,设KF=p,设动点M的坐标为（x，y）,由抛物线的定义可知：,解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，垂足为K点，线段KF的中垂线为y轴,抛物线标准方程的推导,(p0),但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。,方程y2=2px（p0）表示的抛物线，其焦点位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴,抛物线的标准方程,抛物线的标准方程还有哪些形式?,其它形式的抛物线的焦点与准线呢？,y2=2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0),(0,-p/2),(p/2,0),(-p/2,0),y=-p/2,x=p/2,x=-p/2,抛物线的标准方程,总结交流填表,相同点（1）顶点为原点;（2）对称轴为坐标轴;（3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为p/2.,相同点（1）顶点为原点;（2）对称轴为坐标轴;（3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为p/2.,相同点（1）顶点为原点;（2）对称轴为坐标轴;（3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为p/2.,相同点（1）顶点为原点;（2）对称轴为坐标轴;（3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为p/2.,不同点（1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴;(2)一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.,不同点（1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴;(2)一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.,不同点（1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴;(2)一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.,不同点（1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴;(2)一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.,抛物线方程,左右型,标准方程为y2=2px(p0),开口向右:y2=2px(x0),开口向左:y2=-2px(x0),标准方程为x2=2py(p0),开口向上:x2=2py(y0),开口向下:x2=-2py(y0),抛物线的标准方程,上下型,例1,（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标及准线方程,（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0,-2），求抛物线的标准方程,（3）已知抛物线的准线方程为x=1，求抛物线的标准方程,x2=8y,y2=4x,看图,看图,解答：,例2：写出该抛物线的标准方程：,焦点到准线的距离是2,解：y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y,1.由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程,2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解,由例1.和例2.反思研究,先定位，后定量,练习:,求下列抛物线的焦点坐标和准线方程,（1）y2=20 x,（2）x2=y,（3）x2+8y=0,（4）y=6x2,焦点F(5,0),准线：x=5,焦点F(0,2),准线：y=2,练习：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）,（2）准线方程是x=-1/4,例3：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解法1：1）设抛物线的标准方程为x2=2py，把A（-3，2）代入，得p=,2）设抛物线的标准方程为y2=-2px，把A（-3，2）代入，得p=,抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。,若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在X轴上的抛物线方程可统一设成焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成,解法2：设方程为或将点A（-3，2）代入上式，得m=-4/3，n=9/2所以抛物线的标准方程为或,练习：已知抛物线经过点（2，2），写出抛物线的标准方程。,解：,设标准方程为y2=mx或x2=ny（m0且n0），将点（2，2）代入方程得m=n=2，所以方程为y2=2x或x2=2y。,例4根据已知条件，写出抛物线的标准方程。,焦点在直线x+y+1=0上；,解,焦点是直线x+y+1=0与坐标轴的交点，故F（0，-1）或F（-1，0），所以=1，即p=2，方程为x2=-4y或y2=-4x。,练习：已知焦点在直线3x-4y-12=0上.写出抛物线的标准方程,解：,焦点是直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点，故F（0，-3）或F（4，0），所以=3或4，即p=6或8，方程为或。,小结,1.根据标准方程的不同形式如何判断抛物线的焦点位置与开口方向；,2.注重数形结合的思想；,巩固训练,返回,解：（2）因为焦点在y轴的负半轴上，并且,=2，p=4，所以所求抛物线的标准方程是x2=8y.,返回,解：（3）因为准线方程是x=1，所以p=2，且焦点在x轴的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是y2=4x.,返回