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帮你归纳总结(六）：导数中的恒成立问题 一、常见基本题型： （1）已知某个不等式恒成立，去求参数的取值范围； （2）让你去证明某个不等式恒成立。 解此类问题的指导思想是：构造函数，或参变量分离后构造函数，转化为求新函 数的最值问题。 例1：已知函数, 当时，不等式恒成立， 求实数的取值范围.解：不等式可化为， 即. 记，要使上式成立， 只须是增函数即可. 即在1,)上恒成立， 即在上恒成立，故， 所以实数的取值范围是（-，2 .例2：已知，函数（1）若函数在处的切线与直线平行，求的值； （2）在（1）的条件下，若对任意，恒成立，求实数的取值组成的集合 解：（1），由已知， 即，解得或,又因为，所以.（2）当时，由（2）知该函数在上单调递增， 因此在区间上的最小值只能在处取到. 又， 若要保证对任意，恒成立，应该有， 即，解得， 因此实数的取值组成的集合是. 例3. 函数，设，若， 求证：对任意，且，都有. 证明：因为， 所以， 因为，所以（当且仅当时等号成立）， 所以在区间上是增函数， 从而对任意，当时， 即,所以。二、针对性练习 1.已知函数在处取得极值，若对任意,不等 式恒成立, 求实数的取值范围 解：函数的定义域为 又， 由题设在处取得极值，即或。 。 不等式恒成立， 即 恒成立。 又，当且仅当时， 故时，不等式恒成立。 2、设函数 （）求函数的极值点； （）当p0时，若对任意的x0，恒有，求p的取值范围； 解：（1）， 当 上无极值点 当p0时，令的变化情况如下表：x(0，)+0极大值 从上表可以看出：当p0 时，有唯一的极大值点 （）当p0时在处取得极大值，此极大值也是最大值， 要使恒成立，只需， 。 3.已知函数 （）求函数的单调区间； （）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范 围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在 极值？ 解：（）由知： 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是； 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是； （）由,，. 故， , 函数在区间上总存在极值， 有两个不等实根且至少有一个在区间内 又函数是开口向上的二次函数，且， 由，在上单调递减， 所以
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