13比例线段1教师版初一数学竞赛进度一

第第 13 讲讲 比例线段（比例线段（1） 【知识点】 1. 比例线段：四条线段中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，这四条线段叫做 成比例线段，简称比例线段 2. 比例的合分比性质 如果 ac bd ，那么 abcd bd 3. 比例的等比性质 如果 ac k bd ，那么 acac k bdbd （0bd） 等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形 例如：如果 312 123 aaa k bbb ，那么 123312 123123 aaaaaa k bbbbbb （ 123 0b b b ） 4. 平行线分线段成比例 定理 1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所截得的对应线段 成比例 定理 2：平行于三角形一边，且和其他两边（或延长线）相交的直线所截得的三角形与 原三角形的三边对应成比例 定理 3： 【平行线分线段成比例定理】 两条直线被三条平行直线所截，截得的对应线段成比例 （逆命题为假命题） 5. 黄金分割点： 线段上一点把线段分成两段，若较长的线段与较短线段之比等于原线段长度与较 长线段之比， （即较长的线段长度是较短线段长度和原线段长度的比例中项） ，则 这样的分割叫做黄金分割，这一点称为线段的黄金分割点 点 P 称为线段 AB 的黄金分割点 结合上图，有（1） 51 2 PAAB ； （2） 35 2 PBAB 【公式记忆】 （1） 51 2 较长全， 51 2 全较长； （2） 35 2 较短全， 35 2 全较短 6. 黄金三角形：顶角为 36的等腰三角形 7. 角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对 应成比例 8. 三角形一边的平行线的判定： 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线 平行于三角形的第三边 【例题例题精讲精讲】 【例题1】如图，在ABC 中，DE/BC，2AE ，3EC ，5BC ，求 DE 的长 解：/ /DEBC DEAE BCAC 2 523 DE 2DE 【例题2】如图， 已知 DB 平分ABC， DEBC，2AE ，4BC ， 则DE _ 答案：2 【例题3】如图， AD是ABC的中线，AEEFFC， BE交AD于点G， 则 AG AD _ 答案： 1 2 ED C B A 【例题4】如图，,D E分别为AB的三等分点，DFEGBC，若12BC ，则DF _，EG _ 【例题5】如图： ABCD，2OA，4.5OD ，5AC ，6DC ， 则AB _， BD _ 答案：4，7.5 【例题6】如图，ABCD 中， E 是 BC 中点， F 是 BE 中点， AE 和 DF 相交于 H， 则:AH AE _ 答案：4:5 【例题7】在ABCD 中， 点 E 在 DC 上， 若:1:2DE EC ， 则:BF BE _ 答案：3:5 【例题8】如图， 1 l 2 l 3 l，3AB ，8AC ，5DE ，求 DF 的长 解： 123 / / /lll， DEAB DFAC 53 8DF ， 40 3 DF l3 l2 l1 F E D C B A G F ED A B C 【例题9】在梯形 ABCD 中，ADEFBC，:2:3AE BE ，2AD ，5BC ，求 EF 的长 解：延长 BA，CD 交于 G，则有 GA/AD=GB/BC 设 GA=x，解得 x=10/3 同理 GA/AD=GE/EF 得到 EF=3.2 【例题10】如图，AD、AE 分别是ABC 的A 的内角平分线和外角平分线，分别交 BC 和 BC 的延长线于点 D、E，且23ABAC求:BD DC CE的值 【例题11】已知线段AB的长为4cm， P是线段AB的黄金分割点， 则线段BP的长为多少cm？ 解：当 BPAP 时，由黄金分割含义得. BPAB APBP 由于 AB=4cm，所以 AP=4-BP 2 4(4)BPBP， 2 4160BPBP， 4166444 5 22 5 22 BP 因为22 50 （不合题意，舍去） 当 BPAP 时，由于(2 52)APcm 所以4(2 52)(62 5)BPcm 所以 BP 长为(2 52)(62 5)cmcm或 DBC A E 【例题12】如图ABC 为等腰三角形，且顶角 A 为 36求 BC AB 的值 【例题13】如图， ABC 中， E、 F 为 BC 边上的点， 且BECF， EG/AB 交 AC 于点 G， FH/AC 交 AB 于点 H，连 HG求证：HG/BC 【例题14】如图，E、F 分别在边 AB、AC 上，且 EF/BC，D 为 BC 的中点，ED、FD 分别交 AC、AB 的延长线于 H、G，连 HG求证：EF/GH F E D H A G CB H G FE CB A 【例题15】如图，ABC 中，DE/BC，P 为 BC 上一点，F 是 AP 延长线上一点，FD、FE 分别 交 BC 于点 G、H.求证： PGPH PBPC 【例题16】如图，ACBC，F 为底边 AB 上一点， BFm AFn （m、0n ） 取 CF 中点 D， 连 AD 并延长交 BC 于 E （1）求 BE EC 的值； （2）若2BEEC，则直线 CF 与边 AB 有怎样 的位置关系？并证明之 【例题17】如图，P 是ABC 内一点，等长的三条线段 DE，FG，HI 分别平行于边 AB，BC， CA，并且都过点 P已知12AB ，8BC ，6CA，求 AI：IF：FB 的值 HG P M A B C E F D B C E A D F 【课后作业】 【作业1】如图， AD是BAC的平分线， 点E在AD上， 点F在AD的延长线上， 且 EDAB DFAC 求 证：BE/FC 【作业 2】已知在ABC中， 1 ,72 ,ABACmABCBB 平分ABC交AC于 1 B， 过 1 B作 12/ / B BBC交AB于 2 B， 作 23 B B平分 21 AB B交AC于 3 B， 过 3 B作 34/ / B BBC交 AB于 4 B，则线段 34 B B的长度为_. 解：根据黄金三角形的定义，ABC为黄金三角形， 51 2 BC AC ，即 51 2 BCm ，可证得 11 BCBBAB，在黄金三角形 23 AB B中， 121212 11 51 2 B BB BB B ABBBBC ，将BC代入得 2 51 1 2 2 B Bm ，又可 证得 32312 ABB BB B，在黄金三角形 43 AB B中， 343434 32312 51 2 B BB BB B ABB BB B ，将 12