06 一元二次方程1教师版初一数学竞赛经典进度一VIP

1 / 12 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 【一元二次方程的概念】 一元二次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 一元二次方程的一般形式： 2 0 (0)axbxca+=，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 一元二次方程的判别： 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2 任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式 2 0axbxc+=()0a 要特别注意对于关于x的方程 2 0axbxc+=，当0a 时，方程是一元二次方程；当 0a =且0b 时，方程是一元一次方程 【一元二次方程的定义】 关于一元二次方程的定义考查点有三个：二次项系数不为0；最高次数为2；整式方 程 例1. 判别下列方程哪些是一元二次方程 （1） 2 370 x +=； （2） 2 0axbxc+=； （3） 2 (2)(3)1xxx+=； （4） 2 540 xx+=； （5） 2 (12)0 x +=； （6） 2 4 360 x x += 2 / 12 例2. 把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项 （1） 2 (21)(32)2xxx+=+ （2） 2 (2 2)(2 2)(3)xxx+=+ 【巩固】方程 2 232xx=，化为一元二次方程的一般形式是 ，其中二次 项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 【巩固】先把下列的一元二次方程化为一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常 数项 （1） 2 33xx=； （2） 2 5(6)100 x+=； （3） 2 (32)(23)4xxx+=+； （4） 2 11 (2) 52 xx+= 例3. 关于x的方程 22 (1)260axax+=是一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A.1a B.0a C.a为任何实数 D.不存在 【巩固】已知关于x的方程 22 (2)1axaxx=是一元二次方程，求a的取值范围 3 / 12 【巩固】已知关于x的方程 22 ()(2)xaax=是一元二次方程，求a的取值范围 【巩固】若一元二次方程 222 (2)3(15)40mxmxm+=的常数项为零，则m的值为 _ 例4. 若 2 (3)330 n mxnx +=是关于x的一元二次方程，则m、n的取值范围是（ ） A.0m 、3n = B.3m 、4n = C.0m ，4n = D.3m 、0n 【巩固】m为何值时，关于x的方程 2 (2)(3)4 m mxmxm+=是一元二次方程 例5. 已知方程 2 240 ab xxx+=是关于x的一元二次方程，求a、b的值 4 / 12 【巩固】若 2 310 a ba b xx + + =是关于x的一元二次方程，求a、b的值 【巩固】已知方程20 a ba b xxab + =是关于x的一元二次方程，求a、b的值 【一元二次方程根的考察】 关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换. （将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件） 例6. 已知2是关于x的方程 2 3 20 2 xa=的一个根，则21a 的值是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【巩固】若m是方程 2 3220 xx=的一个根，那么代数式 2 3 1 2 mm+的值为 5 / 12 【巩固】关于x的一元二次方程 22 (1)10axxa+ =的一个根是0，则a的值为（ ） A.1 B. 1 C.1或 1 D. 1 2 【巩固】若两个方程 2 0 xaxb+=和 2 0 xbxa+=只有一个公共根，则（ ） A.ab= B.0ab+= C.1ab+= D.1ab+= 【 “降次”思想】 例7. 已知a是方程 2 310 xx+ =的一个根，则代数式 3 102aa+的值为_ 6 / 12 【巩固】已知m是方程 2 200610 xx+ =的一个根，试求 2 2 2006 2005 1 mm m + + 的值 板块二 一元二次方程的解法 【直接开平方法】 对于形如 2 xm=或 2 ()axnm+=（0a ，0m ）型的一元二次方程，即一元二次方程的一 边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解 如 2 xm=（0m ）的解为xm= ，即 1 xm=， 2 xm= 如 2 ()axnm+=（0m ）转化为axnm+= ，即转化为axnm+=或axnm+= 进行 求解 当0m 时，方程 2 xm=和 2 ()axnm+=均无解 例8. 解下列方程 （1） 2 4(21)90 x= （2） 22 9(32)(12 )xx= 7 / 12 【巩固】解关于x的方程：()() 22 2332xx+=+ 【巩固】解关于x的方程： ()() 22 4 259 31xx= 【巩固】解关于x的方程： 2 2(31) 8 5 x + = 【巩固】解方程： 22 69(52 )xxx+= 【配方法】 通过配方的方法把一元二次方程转化为形如 2 ()axbm+=的形式，再运用直接开平方的方法 求解，即用配方法解方程. 用配方法解一元二次方程的步骤如下： （1）把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边 （2）根据等式的性质把二次项的系数化为“1” （3）把方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式. 用配方法解一元二次方程比较麻烦，建议优先考虑其他的方法 8 / 12 例9. 用配方法解下列方程 （1） 2 2490 xx+= （2） 2 368xx= + 【巩固】你能用配方法解下列方程吗？试试看 （1） 2 250 xx+= （2） 2 1 0 4 xx+= （3） 2 324xx= （4） 2 2410 xx+ = 【巩固】用配方法解下列方程 （1） 2 640 xx= （2） 2 420 xx+= 9 / 12 （3） 2 11 0 63 xx+= （4） 2 241yy= （5） 2 23546xxx= （6）(1)(3)50yy+= 2 2520 xx= 【求根公式法】 一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来 例10. 用配方法解方程： 2 0axbxc+=（a、b、c为常数且0a ） 求根公式法步骤 将方程化为一般形式 2 0(0)axbxca+=； 计算判别式 2 =4bac的值； 若 2 40bac，用求根公式 2 4 2 bbac x a =，求方程的解；若 2 40bac，方程无 解. 10 / 12 例11. 用公式法解下列方程 （1） 2 10 xx = （2） 2 5720 xx+= 【巩固】用公式法解下列方程 （1） 2 2310 xx+ = （2） 2 362xx= （3） 2 32 3pp+= （4） 2 35(21)0 xx+= （5） 2 952nn= （6） (5)(7)1xx= （7） 1 (61)432(2) 2 xxxx+=+ （8） 2 3220 xx= 11 / 12 【课堂练习】 （1） 关于x的方程 2 7 (3)30 m mxx +=是一元二次方程，则_m = （2） 一元二次方程 2 ()0axbbxc+=的二次项系数为 ,一次项系数为 ， 常数项为 （3） 已知关于x的方程 22 (3)230mxxmm+=一根为0，则m的值为（ ） A.1 B.3 C.1或3 D.以上均不对 （4） 对于方程 2 ()axbc+=下列叙述正确的是（ ） A.不论c为何值，方程均有实数根 B.方程根是 cb x a = C.当0c 时，方程可化为：axbc+=或axbc+= D.当0c =时， b x a = （5） 选择恰当的方法解下列方程 （1） 2 1 9()4 3 x +=； （2） 2 60 xx=； （3） 2 310yy+ =； （4） 2 211 0 362 xx= （ 5 ） 22 (54)(43)0 xx=； （ 6 ） 2 2530 xx+=； (27)5(27)xxx+=+； (1)(3)12xx+= 【课后作业】 1. 当 时， 2 (2)30mxmx+=是关于x的一元二次方程 2. 若 2 15(3)()xmxxxn+=+，则m的值为 12 / 12 3. 如果(221)(221)63abab+=，则ab+的值是 4. 若 2 1 4 xmx+是一个完全平方式，则m的值是 5. 关于x的一元二次方程 22 20mxxm+=有一根为 1 ，则m的值应为 6. 阅读材料解答下列问题 为解方程 222 (1)5(1)40 xx+=，我们可以将 2 1x 视为一个整体，设 2 1xy =，则 22