第二章控制系统数学模型.ppt

控制系统的模型：描述系统各变量之间关系的数学表达式，叫做系统的数学模型。实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述（例如微分方程、传递函数等）。,数学建模：从实际系统中抽象出系统数学模型的过程,建立数学模型有两种基本方法机理建模：利用各个相关学科领域提出的物质和能量的守恒性、连续性原理，以及组成系统各部件的结构尺寸，推导出系统数学模型。实验辨识法：是一种利用系统的输入和输出实验数据建模的方法。,实际上，只有部分系统的数学模型可用机理建模法建立，更多系统的数学模型需要通过实验辨识的方法求得。,自动控制理论中常用的数学模型：时域中的微分方程、复域中的传递函数和频域中的频率特性,本章主要讨论系统微分方程、传递函数和结构图，信号流图及其应用,第二章动态系统模型,2.1系统的时域模型,常微分方程模型非线性系统的局部线性化模型（自学）黑箱模型（自学）,2.1.1常微分方程模型,微分方程：含有一个未知函数及其一阶或更多阶导数的方程常微分方程：如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程线性微分方程：如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。,（1）确定元件的输入、输出变量。（2）从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出原始方程式。（3）消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分方程。（4）标准化将与输入有关的各项放在等号的右边,与输出有关的各项放在等号的左边，各阶导数按降幂排列,并将输出项的系数为1。,第二章数学模型,线性元件的微分方程列写方法,电气网络系统机械位移系统液位控制系统直流调速系统,2.1.2典型系统的微分方程,电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。电路分析主要对象：电抗、电压、电流电气系统建模：列写各元件的电抗、电压与电流之间关系：,1.电气网络系统,例1RC网络，为输入，为输出，列微分方程。,解：,令T=RC为时间常数，则有,-一阶微分方程。,(1),第二章数学模型,由一阶微分方程表示的系统称为:一阶系统,输出电压如何随着输入电压变化？,例2R-L-C电路，为输入，为输出,列微分方程。,解：,二阶微分方程,均为时间常数,第二章数学模型,由二阶微分方程表示的系统称为:二阶系统,弹簧质量阻尼器系统。外力f(t)，系统产生的位移y(t)，运动部件质量用M表示.B为阻尼器的阻尼系数。K为弹簧的弹性系数,要求写出系统在外力f(t)作用下的运动方程式。,（2）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有:,（1）f(t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。,2.机械位移系统,式中f1(t)阻尼器阻力；,忽略了弹簧质量,f1(t)和f2(t)为中间变量，消去中间变量，整理得,方程两边同时除以K,令,f2(t)弹簧力。,则有,f(t)为N=kgm/s2，t为s，M为kg，y(t)为m，B为Ns/m，K为N/m。显然TB单位为s，而T2M为s2称TB和TM系统的时间常数。1/K为该系统的传递系数，它的意义是:静态时系统的输出与输入之比。,相似系统:R-L-C电路与弹簧质量阻尼器系统具有相同结构的微分方程。,描述物理系统的微分方程的特点：,微分方程的系数由元件或系统结构本身的参量组合而成，因而都是实数；微分方程的形式取决于元件或系统的结构和系统进行的物理过程；微分方程的阶数取决于元件或系统自身含有储能元件的数量；微分方程的解反映了系统的运动规律。,描述物理系统的微分方程的特点：,同一元件或系统，所取的输入输出量不同，微分方程的形式也不相同；不同系统，尽管输入、输出量不同，也可能具有相似的微分方程；SISO线性系统，既可以由以下的线性常系数微分方程的一般形式来描述：,小结,建立微分方程要掌握所涉及系统的关键公式牛顿第二定律、克希霍夫定律、刚体旋转定律等建立的微分方程的标准形式为,要建立非线性系统的线性化微分方程式，首先确定系统的平衡状态，即预定工作点；最后得到整个系统以增量表示的线性化方程。相似系统,微分方程如何解,2.3复域模型与传递函数,拉普拉斯变换传递函数的定义典型环节的传递函数传递函数的性质和物理意义传递函数的表示方式和术语,s为复频率,拉氏变换是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。,2.3.1拉普拉斯变换,对应,时域函数f(t)(原函数),复频域函数F(s)(象函数),对应,时域函数f(t)(原函数),复频域函数F(s)(象函数),对应,时域函数f(t)(原函数),复频域函数F(s)(象函数),形如的数，叫做复数,1.复数概念,2复平面一个复数本质上由一对有序实数唯一确定。可对应于平面上的点，这样表示复数的平面称为复平面或平面。其中轴称为实轴，轴称为虚轴。,3.复数的表示,代数形式：三角形式：指数形式：,4拉氏变换的定义,正变换,反变换,t0时才作用在系统上；输入量在加于系统之前，系统为稳态，即在t=0-时输出及其所有导数项为零,例：重看R-L-C电路,已建立的微分方程为,对两边求拉式变换，并令初始条件为零，则有,根据传递函数的定义,实际上，微分方程和传递函数有对应关系，即将d/dt用s代替，当然一定是在零初始条件下。,例，再重看机械位移系统,已建立的微分方程为,将d/dt用s代替，则有,根据传递函数的定义,如果参数选择的合适的话，这个系统的传递函数与R-L-C网络的传递函数一样，称为相似系统。,2.3.3典型环节的传递函数,1、比例环节,比例环节又称为无惯性环节或放大环节。,典型元件为,2、惯性环节,如果微分方程为一阶常微分方程如：,典型惯性环节有R-C电路水箱水位温度系统,K环节的比例系数；T环节的时间常数。,3、积分环节,如果微分方程仍为一阶常微分方程，但,T积分时间常数。,若r(t)=1，那么,4、微分环节,若r(t)为阶跃输入,所以称G(s)=Ts为理想微分环节而通常实际的微分环节为,当T1很小时,5、振荡环节,当01时，由于系统输出会出现振荡，称为振荡环节,wn-无阻尼自然振荡频率阻尼比；wn=1/T；常见的二阶环节有：R-L-C电路,6、延滞环节（纯滞后环节）,t称为延滞时间（又称死区时间）,延滞环节典型的出现在管道运输,惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。,延迟环节从输入开始之初，在0时间内没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。,延迟环节与惯性环节的区别,2.3.4传递函数的性质和物理意义,关于传递函数性质：只适合线性定常系统；传递函数式是复变量s的有理分式；mn。传递函数由系统或元件的参数和结构决定，与外加输入和初始状态无关；传递函数代表了输入和输出之间的关系，不能提供系统内部结构信息；称为“黑箱”模型。,传递函数与系统单位脉冲响应的关系即讨论当初始条件为零，r(t)=(t)时系统的输出c(t)。此时将c(t)称为单位脉冲响应。此时R(s)=1,那么G(s)=C(s)C(s)=Lc(t)G(s)结论：一个系统的传递函数就是这个系统单位脉冲响应的拉氏变换。传递函数可以表征系统的动态性能。,2.3.5传递函数的两个标准式,传递函数有两种比较常见的表示方式，其一是零极点形式,传递函数通式可表示为,z1,zm为传递函数分子多项式方程的m个根，称为传递函数的零点；zi(i=1，2m)可以是实数和共轭复数。p1,pn为分母多项式方程的n个根，称为传递函数的极点。pi(i=1，2n)可以是实数和共轭复数。,传递函数的零、极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“O”表示极点用“”表示,零、极点分布图,K为传递系数（或静态放大系数）,s=0表示所有导数项为零,其二可写为时间常数形式,K和k之间的关系为,2.4结构图及系统互联,方块图的绘制方块图的化简,结构图常称为方块图,2.4.1.结构方块图,！脱离了物理系统的模型,!系统数学模型的图解形式,形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。,依据信号的流向，将各元件的方块连接起来组成整个系统的方块图。,函数方块图,任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方块图来表示。,求和点,函数方块,引出线,函数方块,信号线,3函数方块(环节)函数方块具有运算功能,4求和点（比较点、综合点）1.用符号“”及相应的信号箭头表示2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号,!注意量纲,相邻求和点可以互换、合并、分解。代数运算的交换律、结合律和分配律。,!求和点可以有多个输入，但输出是唯一的,建立系统的方块图的步骤如下：建立控制系统各元部件的原始方程；对各原始方程进行拉氏变换，可针对每一个原始方程画出方块图；置系统的输入变量于左端，输出变量于右端，便得到系统的方块图。按系统中各变量信号的传递顺序，依次将各元件的方块图连接起来；,2.4.2、方块图的绘制（略）,例还是R-L-C电路,ur(t)为输入电压，uc(t)为输出电压，输出端开路。,写出原始方程式：,拉氏变换得,将相同信号I(s)、Uc(s)连接起来,就完成了方块图的绘制。,在建立了原始方程后，不需要消除中间变量，而是将中间变量根据传递关系，一个一个的串起来，最后完成整个的方块图。,2.4.3方块图的化简,建立结构图的目的是求系统传递函数，对系统性能进行分析。所以对于复杂的结构图就需要进行运算和变换，设法将其化为一个等效的方框，其中的数学表达式即为总传递函数。这一步骤相当于对方程消元。,变换前后，输入输出总的数学关系应保持不变,等效原则：,总传递函数,方框图的等效变换法则,公式直接法,化简法,代数法,方块图的化简,方块图的运算规则,串联、并联、反馈,基于方块图的运算规则,基于比较点的简化,基于引出点的简化,方块图的化简方法,（一）串联：,串联后总传函等于各环节的传函之乘积,第二章数学模型,几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。,例：隔离放大器串联的RC电路,串联运算规则,（二）并联：,并联后总传函等于各环节的传函之代数和,第二章数学模型,同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和。,并联运算规则,反馈运算规则,基于方块图的运算规则,第二章数学模型,第二章数学模型,第二个图:,第二章数学模型,第二个图:,第二章数学模型,只采用三个基本等效法则能求出网络的传函吗？,第二章数学模型,1.比较点前移,3.交换或合并比较点,2.比较点后移,C(s)=G(s)R(s)-B(s),C(s)=G(s)R(s)-B(s)=G(s)R(s)-G(s)B(s),C(s)=E1(s)+V2(s)=R(s)-V1(s)+V2(s)=R(s)+V2(s)-V1(s),（四）比较点的移动：,(五)引出点的移动:,1.前移:,第二章数学模型,后移:,3.互换:,结构图的等效变换（续）,第二章数学模型,有多种方法，考虑负载效应，变换时考虑交叉。,第二章数学模型,两个RC网络的串联（续）,第二章数学模型,按第一种移动方法：,第二章数学模型,两个RC网络的串联（续）,例6：教材上的例215。,第二章数学模型,方块图化简,方块图求取传递函数,简化方块图求总传递函数的一般步骤：确定输入量与输出量；如果作用在系统上的输入量有多个（分别作用在系统的不同部位），则必须分别对每个输入量逐个进行方块变换，求得各自的传递函数。对于有多个输出量的情况，也应分别变换。若方块图中有交叉关系，应运用等效变换法则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路方块。对多回路方块，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。,2.5信号流图与梅逊公式（自学）,方框图虽对于分析系统很有用处，但遇到结构复杂的系统时，其简化和变换过程往往显得烦琐，还得分清比较点和引出点，一般二者不交换。因此可采用信号流图，简单易绘制。,一、基本概念,1组成：两个基本单元如:,第二章数学模型,1）节点表示变量和信号的点，用小圆圈表示。2）支路起于一个节点，止于另一个节点，此间不包含或经过第三个节点，支路上的箭头方向表示信号传递方向。传函写在箭头旁边，称为支路传输。,2术语：,(1)输入支路进入节点的支路。,(2)输出支路离开节点的支路。,信号流图（续）,第二章数学模型,(3)源节点也叫输入节点，即只有输出支路的节点，一般表示系统的输入变量。如,(4)汇节点也叫输出节点，即只有输入支路的节点，一般表示系统的输出变量。如,(5)混合节点既有输入支路又有输出支路的节点，相当于方框图中的引出点和比较点。如,信号流图（续）,第二章数学模型,混合节点的信号为所有的支路引进信号的迭加，且此信号可通过任何一个具有单位传输的输出支路取出。如从取出变为。,(6)通路也叫通道、路径。凡从一个节点开始，沿着支路箭头方向连续经过相连支路而终止到另一个节点（或同一节点）的径路称为通路。,(7)开通路若通路与任一节点相交不多于一次，且起点与终点不为同一点，称为开通路。,信号流图（续）,第二章数学模型,(8)闭通路若通路与任一点相交不多于一次，但起点与终点为同一点，则称为闭通路、回路、回环。(9)自回路从一点开始，只经过一个支路，又回到该点的回路。如：,(10)不接触回路不具有任何公共点的回路。,信号流图（续）,第二章数学模型,(11)前向通路若从源节点到汇节点的通路上，通过任何节点不多过一次，则称为前向通路。,（12)前向通路传输前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或增益。(13)回路传输闭通路(回路)上各支路传输的乘积称为回路传输或增益。,信号流图（续）,第二章数学模型,（1）信号流图是表达线性方程组的一种数学图形。当系统由微方（或差方）描述时，应先变换成代数方程并整理成因果关系形式。（2）节点标志系统的变量。每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。,（3）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。,3性质：,（4）支路表示一个变量与另一个变量之间的关系，信号只能沿箭头方向流通。,第二章数学模型,(5)对于给定的系统，节点变量的设置是任意的，因此，其信号流图不是唯一的。,4信号流图的绘制：,信号流图（续）,1)由系统微分方程绘制信号流图,任何线性数学方程都可以用信号流图表示，但含有微分或积分的线性方程，一般应通过拉氏变换，将微分或积分变换为关于的代数方程后再画信号流图。绘制信号流图时，首先要对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左向右顺序排列；然后，用标明支路,第二章数学模型,2)由系统动态结构图绘制信号流图：,(1)将输入量、输出量、引出点、比较点以及中间变量均改为节点。,(2)用标有传函的定向线段代替各环节的方框。,二者都是数学模型，具有一一对应的关系，在布局上很相似，并有等效对应关系。但信号流图省略了环节的方框，不必区分比较点和引出点，所以更简单。,信号流图（续）,增益的支路，根据数学方程式将各节点变量正确连接，便可得到系统的信号流图。,第二章数学模型,例如：,第二章数学模型,结构图与信号流图的关系（续）,第二章数学模型,1、串联支路的合并：串联支路的总传输等于各支路传输的乘积。2、并联支路的合并：并联支路的总传输等于各支路传输的代数和。3、混合节点得消除：*消除混合节点后应保持输出节点的信号关系不变。,(1),二.信号流图的等效变换（自学，只需了解）,第二章数学模型,(2),信号流图的等效变换（续）,第二章数学模型,4.回路和自回路的消除:,(1).,(2).,实际上,第二章数学模型,可见：与结构图消除反馈的等效变换是相似的,注意,或,(3),均可串并、消回路。,信号流图的等效变换（续）,第二章数学模型,不能直接消回路,即有,例：,注意,信号流图的等效变换（续）,第二章数学模型,例1：两级RC网络串联：,信号流图的等效变换（续）,第二章数学模型,信号流图的等效变换（续）,第二章数学模型,三梅逊公式及其应用：,信号流图虽比结构图简单，但通过等效变换来简化系统也很麻烦。利用梅逊公式可以不必简化流图，直接写出从输入节点到输出节点的总传输系统总传函。,流图特征式，计算公式为：,第二章数学模型,所有互不接触回路中，每次取其中两个回路传输的乘积之和。,所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输的乘积之和。,所有互不接触回路中，每次取其中两个回路传输的乘积之和。,所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输的乘积之和。,梅逊公式及其应用（续）,第二章数学模型,例2仍为两级RC网络：,有三条回路：,解：只有一条前向通道：,第二章数学模型,且有两个回路互不接触：,在此,故,两级RC网络串联（续）,第二章数学模型,例3试用梅逊公式确定如图所示系统的传递函数。,解：由图可知，系统有3条前向通路，其增益分别为,P1,P2,P3,第二章数学模型,例3（续）,有4个单独的回路，各回路增益分别为,L2,L3,L4,第二章数学模型,例3（续）,且有,第二章数学模型,例4：如图系统。,解：有两条前向通道：,梅逊公式同样可以在结构图中使用,第二章数学模型,均接触。,五个回路：,第二章数学模型,闭环系统典型结构如图,2-5闭环系统的传递函数,(一)闭环系统的开环传函：,外作用有：,是根轨迹和频率特性两大分析方法的主要数学模型，它是前向通道和反馈通道的传函之乘积。,第二章数学模型,1闭环传函,令,第二章数学模型,3单位反馈系统：,1扰动闭环传函：,令,第二章数学模型,2扰动误差传函:,第二章数学模型,由以上各式可以看出，系统在各种情况下的闭环系统传递函数都具有相同的分母多项式,称为闭环系统的特征多项式。而称,为闭环系统的特征方程。,第二章数学模型,例1:系统如图所示。,第二章数学模型,一.基本概念:1脉冲响应：在零初始条件下，线性系统对理想脉冲输入信号的响应。2单位脉冲信号：,27脉冲响应函数,第二章数学模型,2）脉冲响应函数：,脉冲响应函数（续）,第二章数学模型,二、应用：,解：,根据拉氏变换的唯一性定理，,脉冲响应函数（续）,第二章数学模型,一一对应，所以就系统动态特性而言，他们包含相同的信息，故若以脉冲信号作用于系统，并测定其输出响应，则可获得有关系统动态特性的全部信息。对于那些难以写出其传函的系统，无疑是一种简便方法。,脉冲响应函数（续）,第二章数学模型,脉冲响应函数（续）,第二章数学模型,脉冲响应函数（续）,若将脉冲宽度取得足够小，,的脉冲函数可表示为,则任意输入信号可表示为,第二章数学模型,脉冲响应函数（续）,根据拉氏变换的卷积定理有,因此，只要知道系统的脉冲响应函数,就可求得系统对任意函数,作用下的输出响应,解：,第二章数学模型,脉冲响应函数（续）,第二章数学模型,本章小结,（1）控制系统的数学模型是描述系统因果关系的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。通常是先分析系统中各元部件的工作原理，然后利用有关定理，舍去次要因素并进行适当的线性化处理，最后获得既简单又能反映系统动态本质的数学模型。,（2）微分方程是系统的时域数学模型，正