10正方形初二自招进度三学生版

正方形正方形1/10 第十讲 正方形 【正方形的定义】 一组邻边相等的矩形叫做正方形。 【正方形的性质】 四个角都是直角，四条边都相等 两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 具有平行四边形、菱形、矩形的性质 【正方形的判定】 一组邻边相等的矩形 有一个直角的菱形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 正方形正方形2/10 【例题【例题 1】如图，ABCD 是边长为 1 的正方形，EFGH 是内接于 ABCD 的正方形 AE=a，AF=b，若 2 3 EFG H S=，求ba-的值。 【例题【例题 2】如图，已知正方形 ABCD 中，边长为 12cm，E,P,F 三点分别在 AB.BC.CD 上，且 APEF， BP=5cm，求 EF 的长。 正方形正方形3/10 【例题【例题 3】如图，在直角梯形 ABCD 中，B=C=90，AB=BC。M 为 BC 边上一点， 且DMC=45。求证：AD=AM 【例题【例题 4】如图， 在正方形 ABCD 中， 对角线 AC、 BD 相交于点 O， P 是 OB 上任意一点，D QA P， 垂足是点 Q，交 AC 于点 R。 （1）求证A O PD O RD D： ； （2）若点 P 在 OB 上运动（不与 O、B 重合） ，试猜想 DP 与 CR 的数量关系，并证明你的结论 正方形正方形4/10 【例题【例题 5】如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，F 是 AD 上一点，且 1 4 A FA D=， 求证：EFEC。 【例题【例题 6】如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再 以对角线 FC 为边作第三个正方形 FCGH，如此下去 （1）记正方形 ABCD 的边长为 1 1a=，按上述方法所作的正方形的边长依次为 234 , , , , n a a aa， 请求出 234 , ,a a a的值 （2）根据以上规律，写出 n a的表达式 正方形正方形5/10 【例题【例题 7】把正方形 ABCD 绕着点 A，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG，边 FG 与 BC 交于点 H， 试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？请先观察，猜想，然后再证明你的猜想。 【例题【例题 8】如图所示，在正方形 ABCD 中，点 P 式 CD 上的一动点，连接 PA，分别过点 B、D 作 、B EPAD FPA，垂足分别为点 E、F。 （1）请探究 BE,DF,EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系。若点 P 在 DC 的延长线上（如图） ， 那么这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点 P 在 CD 的延长线上呢（如图）?请分别 直接写出结论； （2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明。 正方形正方形6/10 【例题【例题 9】如图所示，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 是 DC 的中点，点 F 在 BC 边上，且 CF=1， 在A EFD中作正方形 1111 A B C D，使边 11 A B在 AF 上，其余两个顶点、 11 CD分别在 EF 和 AE 上。 （1）请直接写出图中两直角边之比等于 1:2 的三个直角三角形； （不另添加字母及辅助线） （2）求 AF 的长及正方形 1111 A B C D的边长 （3）在（2）的条件下，取出A EFD（如图所示） ，将 11 EC DD沿直线 11 C D， 11 C FBD沿直线 11 C B分别向正方形 1111 A B C D内折叠，求小正方形 1111 A B C D未被两个折叠三角形覆盖的四边形 的面积。 正方形正方形7/10 【例题【例题 10】如图，Q 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，作2B A PQ A D，P 在 CD 上，求证： AP=CP+CB。 【例题【例题 11】如图所示， 在正方形ABCD中，M为AB的中点，NMMD于M，BN平分CBE交MN 于N求证：MDMN 正方形正方形8/10 【例题【例题 12】(1)如图 1 所示，正方形ABCD被两条分别与边AB、BC平行的线段EF、GH分割成 4 个小矩形，P是EF与GH的交点若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的 2 倍，求HAF的 大小 (2)如图 2 所示，在正方形ABCD中，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们 的延长线）于点M、N如果MAN在如图 2 所示的位置时，很容易证得BMDNMN成立（不 必证明） 请问当MAN绕点A旋转到如图 3 所示的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的 数量关系？请说明理由 图 1图 2图 3 正方形正方形9/10 【例题【例题 13】如图，将边长为 12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平 得折痕FG，若GF的长为 13cm，求线段CE的长 【作业【作业 1】如图， 在A B CD中，90A C B， CD 平分A C B交 AB 于点 D，D EB C与点 E， D FA C于点 F.求证：四边形 CEDF 是正方形。 正方形正方形10/10 【作业【作业 2】如图，把一个边长为 1 的正方形经过三次对折后沿中位线（虚线）剪下，求展开得到的图形 的面积。 【作业【作业 3】如图所示，在菱形 ABCD 中，A OB D于点 O。OE、FG 都垂直于 AD，EF、GH 都垂直 于 AO。若1 A G H SD=,求 A B C D S