11 两点间的距离公式教师2015秋季 初二数学培优经典进度一

1 / 8 第十一讲 两点间距离公式 1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方 2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和，那么这个三角形 是直角三角形 3. 两点的距离公式：直角坐标平面内有两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 AB= 【例题1】 一个长为 25 分米的梯子 AB，斜立在一面竖直的墙上，这时梯脚距墙底端 C7 分米，如果 梯子的顶端下滑 4 分米，求梯脚向外滑多少分米？ 解：如图,AA BB 2222 4,20 252015 1578() AAA CACAA B CA BA C B BB CBC 且 分米 所以，梯脚向外滑 8 分米 【例题2】 RTABC 中，C=90 ，中线 AD 的长为 7，中线 BE 的长为 4，求 AB 的长 解：ADBE、是ABC的中线 CDBDAECE， B C B A y x E D CB A 2 / 8 设,CDBDx AECEy 由勾股定理， 222 222 (2 )4(1) (2 )7(2) xy xy （1）+（2） 22 5()65xy， 22 13xy， 2222 4()2 13ABACBCxy 【例题3】 如图，点 P、Q 为 RTABC 斜边 AB 的三等分点 (1)若 CPAB，CP=2，求斜边 AB 的长 (2)若 CP=CQ=2，求斜边 AB 的长 解：作PEAC于E，,12PQ APCBQC，由,CPCQ APBQ， 得()APCBCQ SAS ，ACBC 设AEx，则2APPQBQx 3 2ABx，所以3 ,ACx则2ECACAEx Rt CPE中， 2222 10 52, 5 CPCEEPxx 6 5 3 2 5 ABx O C QP B A E 解解：取PQ中点O，则AO OB APPQQB 设 2APx ，则 PO x 由于CO为斜边上中线 3COOAx Rt CPO 中， 222 COPOPC 22 94 2 ,63 2 2 xx xABx 3 / 8 【例题4】 已知 AB=13，AC=15，BC=14，求高线 AD 的长 设BDx 22222 ADABBDACCD， 2222 15(14)Bxx，得5x 22 12ADABBD 【例题5】 以 A(-1，1)，B(0，3)，C(3，-1)三点为顶点，能否构成一个三角形？若能，请判断这个三 角形的形状并说明理由 解： 22 125AB ， 2222 345422 5BCCA， 222 25ABCABC，ABC是直角三角形 【例题6】 如图， 正方形ABCD中， E是AB的中点， F是AD上一点，AD 4 1 AF ， 求证：ECEF 4 / 8 【例题7】 在直角坐标平面内，已知点 M(1，1)、N(4，2)，在 x 轴上有个点 P，PMN 是等腰三角 形，求点 P 的坐标 解：( ,0)P x 2 2 (1)1 (4)4 MPx NPx （1）M为顶角 2 (1)1 10 MNMP x （2）N为顶角 2 (4)410 NMNP x （3）MN为底 22 (1)1(4)4xx 【例题8】 已知点 A(-2，3)和 B(1，4)，在 y 轴上找一点 C，使ABC 为直角三角形 解：设(0, )Cy ( 2, 3),(1, 4)AB 222 31AB 222222 1(4)2(3)BCyCAy， 分三种情况讨论： （1）当 0 90A 时， 222222222 312(3)1(4) 3,(0, 3) ABACBCyy yC ， （2）当 0 90B时， 222 BABCAC, 222222 311(4)2(3)7yyy， (0,7)C （3）当 0 90C时， 222222222 2(3)1(4)31CACBAByy， 12 2,5yy (0,2)C或(0,5)C 综上所述， (0, 3)C或(0,7)C或(0,2)C或(0,5)C y M N x 2 1 4 1 y x B A 5 / 8 【例题9】 P 是等边ABC 内一点，PA=5，PB=4，PC=3，求BPC 的度数 【例题10】 在直角坐标平面内，已知点 M(-1，4)、N(3，-2)，在 x 轴上有个点 P， PMN 是等腰三角形，求点 P 的坐标 解：设( ,0)P x 222222 (1)4 ,46 ,(3)2PMxMNNPx 经检验：均能构成三角形 12345 1 (,0),(5,0),( 7,0),(34 3,0),(34 3,0) 2 PPPPP （1） P 为顶角时， 2222 (1)4(3)2 11 ,0 22 PMPN xx xP， （3） N 为顶角时 2222 46(3)2 34 3 (34 3,0)(34 3,0) NMNP x x PP 或 （2） M 为顶角时 2222 12 (1)446 5,7 (5,0)( 7,0) MPMN x xx P 或 在 ABC 外侧作正 BPP 连 ,BP PP P C ，则 0 601P BC 0 601ABPP BCPBA 且 ,BPBP BCBA 5BP CBPAP CPA， P BP 为正， 4,PPPB 且 3PC 222 PCPPP C 0 90P PC ， 则 0 150BPCBPPP PC P P C B A 6 / 8 解：在Rt ABD 中， 4,3ABADBC 22 5BDABAD （勾股定理） 联结FD B与D重合，EF是折痕 【例题11】 长方形 ABCD 中，AB=4，BC=3， 折叠长方形 ABCD，使点 B 与点 D 重合， 求折痕 EF 的长 设FDx，则,4FBx AFx 在Rt DAF中， 222222 2525 (4)3, 88 DFAFADxxxDF， 在Rt DOF中, 22 25525515 82828 OFDFOD 在ODE和OBF中, 12 15 342 4 ODEOBFOEOFEFOF ODOB ， OF还可以这样求： 15 8 OF DBBF DAOF， EF还可以这样求， 115 24 BD EFFB ADEF， 7 / 8 【作业1】 已知点1,1 ,1,2AB在x轴上寻找一点C，使ABC是等腰三角形 【作业2】 已知：如图，在ABC 中，AD 是高，M 是边 BC 的中点， 求证：。BCDMACAB 2 22 解：左边 2222 ()BDADCDAD 22 ()() ()() BDCDBDCD BDCD BCBDCDBC BMMDCD 由题BMMC 左边()BC MCMDCD 2BCMD右边 8 / 8 1. 已知在等边ABC中，D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等边EDC，连结 AE （1）试说明 AEBC 的理由. （2）将第（1）题中的点 D 运动到边 BA 的延长线上，所作仍为等边三角形画出图形，此时是否仍 有 AEBC？证明你的猜想 提示：仍然成立，证明DBC和EAC全等即可 2. 如图，在 RtABC 中，AB=AC，BAC=900，点 O 是 BC 的中点. （1）若点