第6章无限长单位脉冲响应IIR滤波器设计.ppt

1,第6章无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计,2,滤波器的分类,经典滤波器（一般滤波器）：信号和干扰的频带互不重叠时采用现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠时采用（例如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）功能高通、低通、带通、带阻结构递归系统IIR非递归系统FIR,3,滤波器的设计,直接设计法在时域或频域直接设计数字滤波器间接设计法根据指标要求设计模拟滤波器将模拟滤波器转换为数字滤波器,4,6.1模拟滤波器设计,模拟滤波器的设计步骤确定指标选择滤波器的类型计算滤波器的阶数查表或计算滤波器的参数，确定系统函数综合实现及装配调试模拟滤波器的传输函数：选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。幅频特性体现了各频率成分幅度的衰减,而相频特性体现的是不同成分在的延时.对输出波形有要求时，则需考虑线性相位问题。,5,6.1.1模拟滤波器的设计指标,通带边界频率，阻带边界频率，3dB截止频率系统通带和阻带的误差要求通带常数特性要求通带最大衰减，或通带峰值波纹，或通带波纹幅度，用分贝表示,H(j),1,6,阻带常数特性要求阻带最小衰减，或阻带峰值波纹，或阻带波纹幅度，用分贝表示,7,损耗函数：描述幅频响应特性3dB截止频率,损耗函数优点:对幅频响应|Ha(j)|的取值非线性压缩,放大小的幅度.,8,wp=2*pi*500;ws=2*pi*600;Rp=0.1;As=60;%设计切比雪夫II型N2,ws2=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,s);B2,A2=cheby2(N2,As,ws2,s);k=0:511;fk=0:1000/512:1000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B2,A2,wk);subplot(2,1,1);plot(fk,abs(Hk);gridonxlabel(频率(Hz);ylabel(幅度)axis(0,1000,0,1.1)subplot(2,1,2);plot(fk,20*log10(abs(Hk);gridonxlabel(频率(Hz);ylabel(幅度(dB)axis(0,1000,-100,10),9,两个附加参数,过渡比或选择性参数反映过渡带的性能，过渡带越窄，k值趋近于1低通滤波器偏离参数越小，通带、阻带的纹波越小,10,技术指标:,通带边界频率，,阻带边界频率，,片段常数,11,模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供选择。这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。典型滤波器巴特沃斯（Butterworth）滤波切比雪夫（Chebyshev）滤波器；贝塞尔（Bessel）滤波器；椭圆（Ellipse）滤波器。,12,6.1.2巴特沃斯（Butterworth）模拟低通滤波器设计,巴特沃斯低通滤波器N阶巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：N为滤波器的阶次，为3dB截频。,13,巴特沃斯低通滤波器特点在点，具有最大幅度:1滤波器幅频响应随的增大而单调下降.损耗函数,14,滤波器的特性由3dB截止频率和阶数N确定滤波器的给定指标为通带边界频率阻带边界频率通带最小幅度阻带最大波纹截止频率与阶数如何确定？,15,截止频率与阶数如何确定？,滤波器幅频响应随频率的增大而单调下降于是,满足通带指标，阻带指标有富裕满足阻带指标，通带指标有富裕,16,滤波器的给定指标为通带最大衰减阻带最小衰减先求确定截止频率与阶数,17,巴特沃斯低通滤波器的系统函数,三种形式归一化,去归一化,18,N-极点,19,N-分母多项式系数,20,N-分母因式,21,低通巴特沃斯滤波器设计步骤：,由求滤波器阶次N；由N查表，求出归一化极点和归一化系统函数G(p)（P140）令代入G(p)，得实际滤波器传输函数Ha(s)。（去归一）,22,例：已知通带边界频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减，设计巴特沃斯低通滤波器。解：1）确定阶次N：可得N按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。,23,查表求分母因式：系统函数,24,6.1.3切比雪夫（chebyshev）滤波器,切比雪夫1型通带内等波纹，阻带内单调下降切比雪夫2型通带内单调下降，阻带内等波纹巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高，切比雪夫滤波器的纹波在通带范围内是等幅起伏的，同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。,25,切比雪夫1型的幅度平方函数：通带边界频率通带波纹参数N阶切比雪夫多项式：多项式递推公式：,26,切比雪夫滤波器的振幅平方特性,27,阻带边界频率,N大于等于上式的最小整数,28,滤波器的系统函数,29,切比雪夫型通带内单调下降，阻带内等波纹幅度平方函数：阶数N的计算,30,系统函数,31,6.1.4椭圆滤波器（考尔滤波器）,幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。通带和阻带内波纹固定时，阶数越高，过渡带越窄；阶数固定，通带和阻带纹波越小，过渡带越宽；,32,33,6.1.5贝塞尔滤波器,在通带内逼近线性相位特性,34,6.1.6MATLAB设计模拟滤波器,1、巴特沃思滤波器,N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As),计算数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc.wp,ws为数字滤波器的边界频率归一化值,N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s),计算模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率wc.wp,ws为实际角频率,35,z,p,G=buttap(N),计算归一化的模拟低通滤波器系统函数的零极点和增益因子,B,A=zp2tf(z,p,G),36,B,A=butter(N,wc,ftype)数字滤波器,ftype-highstop,B,A=butter(N,wc,ftype，s)模拟滤波器,37,例：已知通带边界频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减，设计巴特沃斯低通滤波器。解：wp=2*pi*1000;ws=2*pi*5000;Rp=1;As=40;%设置滤波器参数N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s);%计算滤波器阶数N和3dB截止频率B,A=butter(N,wc,s);%计算滤波器系统函数分子分母多项式系数k=0:511;fk=0:6000/512:6000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);plot(fk,20*log10(abs(Hk);gridonxlabel(频率(Hz);ylabel(幅度(dB)axis(0,6000,-50,1.5),38,z，p,k=cheb1ap(N,Rp),切比雪夫I型滤波器,B,A=cheby1(N,Rp,wpo,ftype),N,wpo=cheb1ord(wp,ws,Rp,As),N,wpo=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,s),B,A=cheby1(N,Rp,wpo,ftype，s),与巴特沃思设计函数的不同之处：wpo为通带截止频率,39,z，p,k=cheb2ap(N,Rs),切比雪夫II型滤波器,B,A=cheby2(N,Rp,wso,ftype),N,wso=cheb2ord(wp,ws,Rp,As),N,wso=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,s),B,A=cheby2(N,Rp,wso,ftype，s),与巴特沃思设计函数的不同之处：wso为阻带截止频率,40,例：已知通带边界频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减，设计切比雪夫低通滤波器。解：wp=2*pi*1000;ws=2*pi*5000;Rp=1;As=40;%设计切比雪夫1型N1,wp1=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,s);B1,A1=cheby1(N1,Rp,wp1,s);%设计切比雪夫1型N2,ws2=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,s);B2,A2=cheby2(N2,As,ws2,s);k=0:511;fk=0:6000/512:6000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B1,A1,wk);,41,figure(1);plot(fk,20*log10(abs(Hk);gridonxlabel(频率(Hz);ylabel(幅度(dB)title(a)切比雪夫1型滤波器);axis(0,6000,-70,5)Hk=freqs(B2,A2,wk);figure(2);plot(fk,20*log10(abs(Hk);gridonxlabel(频率(Hz);ylabel(幅度(dB)title(b)切比雪夫2型滤波器);axis(0,6000,-70,5),42,z，p,k=ellipap(N,Rp,As),椭圆滤波器,B,A=ellip(N,Rp,wpo,ftype),N,wpo=ellipord(wp,ws,Rp,As),N,wpo=ellipord(wp,ws,Rp,As,s),B,A=ellip(N,Rp,wpo,ftype，s),43,%椭圆滤波器设计程序wp=2*pi*1000;ws=2*pi*5000;Rp=1;As=40;%设置指标参数N,wpo=ellipord(wp,ws,Rp,As,s);%计算阶数和通带边界频率B,A=ellip(N,Rp,As,wpo,s);%计算系统函数系数k=0:511;fk=0:6000/512:6000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);plot(fk,20*log10(abs(Hk);gridonxlabel(频率(Hz);ylabel(幅度(dB)axis(0,6000,-70,5),44,z，p,k=besselap(N),贝塞尔滤波器,B,A=besself(N,wc),B,A=besself(N,wc,ftype),%设计Bessel滤波器N=3;wc=2*pi*1000;%设置指标参数B,A=besself(N,wc);%计算低通模拟滤波器系统函数系数,45,6.1.7模拟滤波器的比较,相同阶数的频率响应特性相同通带最大衰减、阻带最小衰减，巴特沃思滤波器的过渡带最宽；椭圆滤波器过渡带最窄；相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高巴特沃思滤波器单调下降切比雪夫I滤波器通带等波纹幅频特性，过渡带、阻带单调下降切比雪夫II滤波器阻带等波纹幅频特性，通带、过渡带单调下降椭圆滤波器通带、阻带等波纹幅频特性，过渡带单调下降,五种最常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，求合理选用。,46,6.1.8频率变换与高通、高通、带通及带阻滤波器的设计,高通滤波器滤波器指标,通带边界频率：阻带边界频率：通带纹波幅度：阻带纹波幅度：,47,通带边界频率：上边界频率下边界频率阻带边界频率：上边界频率下边界频率通带纹波幅度：阻带纹波幅度：,带通及带阻滤波器,1,48,带阻滤波器的性能指标,通带边界频率：上边界频率下边界频率阻带边界频率：上边界频率下边界频率通带纹波幅度：阻带纹波幅度：,49,高通、带通及带阻滤波器的设计,归一化低通滤波器原型通带边界频率为1的模拟滤波器高通、带通及带阻滤波器的设计过程采用频率变换公式，将滤波器的技术指标转换成归一化低通滤波器指标利用精典滤波器的设计公式、图表，设计归一化低通滤波器的系统函数通过频率变换公式，由获得希望滤波器的系统函数,50,符号规定,归一化低通滤波器原型边界频率希望模拟滤波器的系统函数频率变换公式于是,51,1模拟高通滤波器的设计,低通原型到高通滤波器的频率变换在虚轴上高通滤波器通带边界频率映射关系低通高通,52,例设计巴特沃思模拟高通滤波器,通带边界频率为fp=4kHz，阻带边界频率为fs=1kHz，通带最大衰减为0.1dB（fp处），阻带最小衰减s=40dB。解：高通滤波器指标1）确定相应低通原型滤波器的指标,53,2)设计巴特沃斯低通滤波器。确定阶次N：可得N按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。,54,归一化的5阶滤波器的系统函数3）高通滤波器的系统函数,55,MATLAB,wp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40;%设置滤波器指标参数N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s);%滤波器G(p)阶数N和3dB截止频率B,A=butter(N,wc,s);%计算低通滤波器G(p)系统函数分子分母多项式系数wph=2*pi*4000;%高通模拟滤波器通带边界频率BH,AH=lp2hp(B,A,wph)%低通到高通转换,56,2.低通到带通的频率变换:,低通原型到带通滤波器的频率变换在虚轴上通带边界频率：上边界频率下边界频率高通滤波器的带宽带通滤波器的中心频率,57,映射关系,58,减少，或增加减少，或增加,带通滤波器的系统函数,可以证明：如给定边界频率不满足改条件，改变参数，提高指标，,59,例：设计巴特沃思模拟带通滤波器，通带上下边界频率分别为4kHz和7kHz，阻带上、下边界频率分别为2kHz和9kHz，通带内最大衰减p=3dB，阻带最小衰减s=20dB。解：1）高通滤波器指标增大2）低通原型滤波器指标,60,3）设计低通原型滤波器4）求模拟带通H(s)：,61,3.低通到带阻的频率变换:,低通原型到带阻滤波器的频率变换在虚轴上阻带边界频率：上边界频率下边界频率带阻滤波器的带宽带阻滤波器的中心频率,62,映射关系,63,减少，或增加减少，或增加,带阻滤波器的系统函数,可以证明：如给定边界频率不满足改条件，改变参数，提高指标，,64,6.2IIR数字滤波器设计,目标：满足给定频率响应指标、因果稳定的系统函数间接法设计过程确定数字滤波器的指标转换成过渡模拟滤波器的指标设计过渡模拟滤波器将过渡模拟滤波器转换为数字滤波器指标转换,65,过渡模拟滤波器转换为数字滤波器的要求,Ha(s)的特性：因果稳定性:全部极点位于s平面的左半平面。与傅里叶变换的关系：虚轴的上Ha(s)H(z)的特性:因果稳定性:全部极点位于z平面的单位圆内。与傅里叶变换的关系：单位圆上的H(z),66,6.2.1脉冲响应不变法,基本思想使数字滤波器能模仿模拟滤波的特性；从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的h(n)正好等于模拟滤波器的ha(t)的采样值，即,67,滤波器系统函数（部分分式）模拟滤波器的单位冲激响应采样Z变换单极点、分母阶次高于分子阶次，可直接由获得,68,因果稳定性分析：,S平面与Z平面之间的极点映射关系,进一步可证明：S平面与Z平面之间的映射关系,69,s平面到z平面的映射是多值映射。,:,:,:,:,71,数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓,72,无混叠失真的条件：带限、满足采样定理混叠失真的影响相似性变差、无法满足阻带衰减指标脉冲响应不变法的优缺点：（1）频率坐标变换是线性的，数字滤波器在无频率混叠时能较好地重现原模拟滤波器的频率特性；（2）由于数字域的冲激响应模仿模拟域的冲激响应，故时域特性逼近好；（3）模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。（4）产生频率混叠现象，不适合高通、带阻滤波器的设计。,73,增益的补偿,T很小时增益很大,易造成数字滤波器溢出,改进:,74,共轭极点的合并,避免复数乘法其中,75,例,将一个具有如下传递函数的模拟滤波器数字化。解：s1=-1,s2=-3,76,数字滤波器的频率响应为:显然与采样间隔T有关,如图b,T越小,衰减越大,混叠越小,当fs=24Hz,混叠可忽略不计.,模拟滤波器的频率响应为:,77,78,教材例6.2.1,79,例622脉冲响应不变法设计，通带和阻带均为单调下降特性，p=0.2,s=0.35,p=1dB,s=10dB解题思路：1、/，数字指标转模拟指标；2、设计模拟滤波器；3、转换成数字滤波器（脉冲响应不变法）结果如下图所示：,80,T=1s,T=0.1s,81,6.2.2双线性变换法设计IIR数字滤波器,克服脉冲响应不变法的频谱混叠现象，采用非线性频率压缩方法。双线性变换法的基本设计思想脉冲响应不变法：波形逼近双线性变换法：算法逼近。用线性常系数差分方程逼近线性常系数微分方程,82,微分方程到差分方程的近似微分方程近似差分方程,83,系统函数S域到z域的映射为双线性变换,84,双线性变换的性能分析,稳定性映射关系,因果稳定,因果稳定,85,非线性频率压缩,86,频率响应的畸变,幅频特性相频特性,87,频率响应的畸变,幅频特性例2,88,问题:双线性变换使得数字滤波器幅频响应曲线有较大的失真办法:将数字滤波器指标模拟滤波器指标，按非线性关系式计算模拟滤波器边界频率则所得数字滤波器的幅频响应特性必然满足指标。此为“预畸变校正”。,89,双