第七章相平面法2010.ppt

7.6相平面法,一、相平面的基本概念二、相轨迹的绘制三、由相轨迹求系统的瞬态响应四、奇点与极限环五、非线性系统的相平面分析,解决两个问题：1.什么是相轨迹？2.相轨迹的几个重要性质。,一、相轨迹的基本概念,相平面法是状态空间法在二维空间特殊情况下的应用。它是一种通过图解法求解一阶或二阶线性或非线性系统的准确方法。它可以给出某一平衡状态稳定性的信息和系统运动的直观图像。所以，它属于时间域的分析方法。,对于二阶时不变系统，可用以下常微分方程来描述：,设:,则:,（一）相轨迹的基本概念,相平面、相轨迹、相平面图,在相平面上表示系统运动状态的点随时间移动所形成的轨迹，称作相轨迹。,以各种可能的初始条件为起点，所得到的相轨迹族，叫相平面图。,设描述二阶系统的微分方程为：,其中A为由初始条件决定的常数。由相轨迹过程求得相应的相平面图为一族椭圆。,例：,1）.相轨迹上的每一点都有其确定的斜率,（二）、相轨迹的几个重要性质,只要不同时满足，则斜率是唯一确定的，从而通过该点只有一条相轨迹。,则相轨迹上的每一点的斜率为：,相轨迹的斜率方程,2）.相轨迹的奇点：相轨迹上斜率不确定的点，也即：,由微分方程式解的唯一性定理可知，对于每一个给定的初始条件，只有一条相轨迹。所以，从不同初始条件出发的相轨迹是不会相交的。,，则斜率是不确定值的，从而通过该点不止一条相轨迹。此时，系统处于静止状态，故为系统的平衡状态点，也叫相平面的奇点。,（二）、相轨迹的几个重要性质,4）.相轨迹的运动方向,3）.相轨迹正交与x轴因为在x轴上的所有点，其总等于零，所以除去其中的奇点外，在这些点上的斜率，这表示相轨迹与相平面的横轴x是正交的。,（二）、相轨迹的几个重要性质,绘制相轨迹的方法有两个：1.解析法2.等倾线法等倾线法的基本思想是先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。,二、相轨迹的绘制,1.等倾线：是指相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。设斜率为，则：,2.等倾线方程：,由该方程可在相平面上作一条曲线，称为等倾线。当轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为。取不同的时，可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为的短直线以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。,二、相轨迹的绘制等倾线法,等倾线示意图,例绘制下列系统的相轨迹,解：系统方程可以改写为,令相轨迹斜率为，代入上式得到相轨迹的等倾线方程：,可见，等倾线是通过原点的直线簇，等倾线的斜率等于-2/(2+)，而则是在相轨迹通过等倾线处的斜率。,等倾线与相轨迹,设系统参数=0.5，1。求得对应于不同值的等倾线,用等倾线法相轨迹绘制,相轨迹是消去时间后画出的，尽管它直观地给出了系统状态的运动轨迹，但却将时间信息隐含其中，使时间信息变得不直观了。有时我们希望给出时间响应以便得到与时间有关的性能指标，这就需通过相轨迹求出时间信息。,通过积分可得：,三、由相轨迹求系统的瞬态响应,可通过以下方法求出时间信息：,当然，对于无解析解的情况，也可以通过选取合理的增量，变成下式求出时间：,（一）线性系统的相轨迹（二）奇点类型（三）极限环,四、奇点与极限环,线性一阶系统的相轨迹,描述线性一阶系统自由运动的微分方程为：,相轨迹方程为：,设系统初始条件为：,（一）线性系统的相轨迹,线性一阶系统的相轨迹,可见，相轨迹位于过原点，斜率为-1/T的直线上。当T0时，相轨迹该直线收敛于原点；当T0时，相轨迹沿该直线发散至无穷。,线性二阶系统的相轨迹,描述线性二阶系统自由运动的微分方程为：,线性二阶系统的特征根为：,相轨迹方程为：,并令：,等倾线方程为：,k为等倾线的斜率,1.=0,系统有两个共轭的纯虚根,用解析法可得系统的相轨迹方程为：,系统为等幅振荡运动状态，其相轨迹为一簇围绕奇点的封闭曲线，这种奇点称为中心点。,2.01,系统特征根为具有负实部的一对共轭复根,其相轨迹呈螺旋线型，轨迹簇收敛于奇点，这种奇点称为稳定焦点。系统稳定。,等倾线方程为：,3.-11,系统有两个负实根。系统的零输入响应为非振荡衰减开式，存在两条特殊的相轨迹。,相平面内的相轨迹簇无振荡地收敛于奇点，这种奇点称为稳定节点，系统稳定。,等倾线方程为：,5.=1,相轨迹的渐近线即特殊等倾线蜕化为一条，不同初始条件的相轨迹最终将沿着这条特殊的等倾线趋于原点，系统稳定。,系统有两个负实根，并有：,6.=-1,当1时，系统有两个正实根，系统不稳定，相平面内的相轨迹簇直接从奇点发散出来，这种奇点称为不稳定节点。,7.不稳定系统,有两条特殊的等倾线，其斜率为：,此式表明，特殊的等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至此等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。,系统特征根：,系统有一个正实根，有一个负实根，系统是不稳定的，其相轨迹呈鞍形，中心是奇点，这种奇点称为鞍点。,图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其他相轨迹的渐近线，此外作为相平面的分隔线，还将相平面划分为四个具有不同运动状态的区域。,系统特征根：,相轨迹微分方程为：,运用积分法求得相轨迹方程：,可见，当时，相轨迹收敛并最终停止在x轴上；当时，相轨迹发散至无穷，系统不稳定。,（二）奇点的类型,当01时，系统有一对负实部的共轭复根,系统稳定，其相轨迹呈螺旋线型，轨迹簇收敛于奇点，这种奇点称为稳定焦点。当10时，系统有一对正实部的共轭复根，系统不稳定，其相轨迹也呈螺旋线型，但轨迹簇发散至无穷，这种奇点称为不稳定焦点。,奇点和奇点的类型,当1时，系统有两个负实根，系统稳定，相平面内的相轨迹簇无振荡地收敛于奇点，这种奇点称为稳定节点。当1时，系统有两个正实根，系统不稳定，相平面内的相轨迹簇直接从奇点发散出来，这种奇点称为不稳定节点。,奇点和奇点的类型,当阻尼比0时,系统有一对共轭虚根,系统等幅振荡,其相轨迹为一簇围绕奇点的封闭曲线,这种奇点称为中心点。,系统有一个正实根,有一个负实根,系统是不稳定的,其相轨迹呈鞍形,中心是奇点,这种奇点称为鞍点。,综上所述，对应不同的阻尼比，系统的两个特征根在复平面上的分布也不同，系统的运动以及相平面图也不同，换言之，特征根在复平面的位置决定了奇点的性质。二阶线性系统的相轨迹和奇点的性质，由系统本身的结构与参量决定，而与初始状态无关。不同的初始状态只能在相平面上形成一组几何形状相似的相轨迹，而不能改变相轨迹的性质。由于相轨迹的性质与系统的初始状态无关，相平面中局部范围内相轨迹的性质就有决定性意义，从局部范围内相轨迹的性质可以推知全局。,当非线性系统存在多个奇点时，奇点的类型只能决定该奇点附近系统的运动行为，而整个系统的的运动状态，即相轨迹特别是离奇点较远的部分，还取决于多个奇点的共同作用，有时会产生特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域。这种特殊的相轨迹称为奇线。最常见的奇线是极限环。相平面上如果存在一条孤立的相轨迹,而且它附近的其他相轨迹都无限地趋向或者离开这条封闭的相轨迹,则这条封闭相轨迹为极限环。它把相平面分隔成内部平面和外部平面两个部分。任何一条相轨迹都不能从内部平面穿过极限环而进入外部平面,也不能从外部平面穿过极限环而进入内部平面。,（三）、极限环,(1)稳定的极限环,根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将极限环分为三种类型：稳定的极限环、不稳定的极限环、半稳定的极限环。,如果起始于极限环附近的内部和外部的相轨迹最终都趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环，如下图所示。稳定的极限环上系统就表现为自激振荡。极限环轴向与径向的最大值分别对应自激振荡的振幅与最大变化率。从减小自激振荡对机械系统的磨损与冲击来说，希望这种极限环的尺寸尽可能的小。,起始于极限环附近内部和外部的相轨迹，最终都卷离极限环,则该极限环称为不稳定极限环。注意，极限环的不稳定指的是系统的运动状态在该极限环上是不可维持的，而不是意味着系统的不稳定。对于起始于极限环内部平面的相轨迹，最终都会趋于平衡点，系统是渐近稳定的。而外部平面则属于不稳定的区域。所以在设计系统时，尽量增大这种极限环的尺寸，使系统有较大的稳定域。,(2)不稳定的极限环,如果极限环附近两侧的相轨迹，一侧是卷向极限环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半稳定的极限环，如下图所示。图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设计系统时应设法避免；而图（d）所示的系统则同不稳定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。,(3)半稳定的极限环,用相平面法分析非线性系统是通过分析系统中每个奇点的性质来分析系统的稳定性等性质，可分为以下两种情况：1.非线性系统为非本质非线性，则采用小偏差线性化方法在每一个奇点的很小的领域将系统进行线性化，再根据二阶线性系统来分析该奇点的性质，从而得到系统的运动信息。2.非线性系统可分解为线性部分和非线性部分，且非线性部分为本质非线性，则根据非线性部分的特性将相平面划分为几个区域，使每个区域对应一个线性系统，再分析每一个线性系统奇点的性质，并结合某种作图方法就可以绘制出该区域内的相轨迹。,五、用相平面法分析非线性系统,在非线性系统中，稳定性分析是针对奇点而言的，在分析中特别关心的是奇点的稳定性和奇点附近的运动。相平面法的任务之一就是分析奇点附近运动的特性。,它对应于二阶线性微分方程式。,1、非线性系统小范围线性化,对非线性系统在奇点附近展成泰勒级数：,解系统方程可以改写为：,特征根为0.25j1.39，故奇点(0,0)为稳定焦点。,同理，在(-2,0)点附近，则系统的微分方程可近似为,特征根为1.19和1.69,故奇点(-2,0)为鞍点。,图中相交于鞍点的两条相轨迹为奇线，将相平面分为两个区域，相平面图中阴影线内区域为系统的稳定区域，其外区域为系统的不稳定区域。此例说明，非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。,线性系统的奇点如果在线性系统对应的区域内，就称为实奇点，否则称为虚奇点。因为虚奇点对应的运动方程不适用于该虚奇点所在的区域，所以即使虚奇点是稳定的，运动也无法到达该虚奇点。,非线性系统方框图如图,并有：,例:具有饱和特性的非线性系统分析,则，线性部分的系统方程为,即：,所以微分方程为,或：,2、非线性系统的相平面分析,m和e的关系分为3个线性段：,所以：,可见，开关线e=-e0和e=e0将相平面分为负饱和区、线性区和正饱和区。,下面分别研究系统阶跃输入和斜坡输入作用下的相轨迹：,可见，两个饱和区均可表示为：,则：,因此相轨迹无奇点，等倾线方程为一簇平行于横轴的直线，即等倾线的斜率为0，此时有两条特殊等倾线：=0，k=0，且,其特征方程根为，奇点为稳定焦点，系统稳定！相轨迹如图：,线性区：,当时，线性区有一个奇点（0，0）。,此时：,相轨迹：,小结,1、非线性系统不能运用叠加原理。在工程上目前还没有一种通用的方法可以顺利地解决所有非线性问题。本章介绍了非线性系统分析的两种方法：相平面法和描述函数法，它们都是用