垂径定理(优选)1.ppt

,生活中的圆,圆,圆是由一条封闭的曲线围成的图形。,一、圆的概念,2厘米,圆的定义:在平面内,线段OA绕它的固定端点0旋转一周,另一个端点A所描出的封闭曲线叫做圆（circle).,圆心,固定的端点（圆中心的这一点）叫做圆心。,O,如图:以O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”,连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。,r,半径,圆心,直径,d,通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。,o,同圆内，半径有无数条，长度都相等,一个圆有多少条半径？对同一个圆来说，这些半径的长度相等吗？,o,同圆内，直径有无数条，长度都相等,一个圆有多少条直径？对同一个圆来说，这些直径的长度相等吗？,(1)圆上的各点到圆心O（定点）的距离等于半径的长r（定长）;(2)到定点的距离等于定长的点都在圆上,因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.,请你用集合的语言描述下面的两个概念：（1）圆的内部是点的集合.（2）圆的外部是点的集合.,圆的两种定义,动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆,静态：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。,活动探究二,议一议：以点O为圆心能画几个圆？以1厘米为半径能画几个圆？思考：确定一个圆由哪几个要素决定？,用圆规画圆,画一个半径为2厘米的圆。,一、定长（半径）,二、定点（圆心）,三、一只脚旋转一周,2厘米,确定一个圆的要素:,圆心确定其位置，,一是圆心，,二是半径，,半径确定其大小,（1）半径是射线，直径是直线。(),（2）圆的直径都相等。(),（3）直径是圆内最长的弦。(),（4）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。(),活动探究三,二、圆中的有关概念,连接圆上任意两点的线段（如图中的线段BC、BD）叫做弦（chord),经过圆心的弦（如图中的BD）叫做直径（diameter),注意：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径。直径是圆内最长的线段.,C,O,B,A,C,O,B,A,小于半圆的弧叫做劣弧.如AB,大于半圆的弧叫做优弧（用三个点表示）如BCA,弧的分类：（1）优弧(大于半圆的弧)（2）半圆弧（等于半圆的弧）（3）劣弧（小于半圆的弧）,1.半圆是特殊的弧，但弧不一定是半圆。2.半圆既不是劣弧也不是优弧。,垂径定理,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,圆是轴对称图形，,判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）,X,任何一条直径所在的直线都是对称轴。,（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？（2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？,思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD平分？,O,A,B,C,D,E,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E.,垂径定理的几何语言叙述:,AE=BE，,AC=BC，,AD=BD,（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,AE=BE,AC=BC,AD=BD,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,CDAB,2如图，在O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（）,A3B2.5C2D1,4如图，在O中，AB是直径，CD是弦，ABCD，垂足为E，连接CO，AD，BAD=20，则下列说法中正确的是（）,AAD=2OBBCE=EOCOCE=40DBOC=2BAD,6如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）,引申定理,定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式：一条直线具有：,平分弦,经过圆心,垂直于弦,平分弦所对的劣（优）弧,A,B,C,D,E,A,B,D,C,AC=BC,AD=BD,CDAB,AE=BE,平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,（不是直径）,垂径定理的推论:,CDAB吗？,(E),合作探究,“知二推三”(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(2）(3)时,应对另一条弦增加”不是直径”的限制.,垂径定理的推论,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,CD是直径,AM=BM,CDAB,判断下列图形，能否使用垂径定理？,判断：,()(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,()(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.,()(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.,解：如图，设半径为R，,问题情境,例：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为24m,拱高(弧的中点到弦的距离)为8m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,R,12,R-8,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,应用新知识,解：,答：O的半径为5cm.,在RtAOE中,在O中,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,选择：如图：在O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为（）A、3B、2C、1D、0,A,弓形的弦长为6cm，弓形的高为1cm，则这弓形所在的圆的半径为.,图中两圆为同心圆,变式3：隐去（变式1）中的大圆，得右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？,变式4：隐去（变式1）中的大圆，得右图，连接OC，OD，设OC=OD，AC、BD有什么关系？为什么？,变式1：AC与BD有什么关系？,变式2：ACBD依然成立吗,已知P为O内一点,且OP=2cm,如果O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于_,小结,、圆的轴对称性,、垂径定理及其推论的图式,常用辅助线