线性代数练习册答案5.ppt

第五章特征值与特征向量,习题一矩阵的特征值和特征向量,一、填空题,1数域上的阶矩阵的特征值和数域有关。,2若是的属于特征值的特征向量，则,则也是,的属于特征值,的特征向量。,3若是矩阵的特征值，则是_的根,4阶矩阵与_有相同的特征值,二、计算题,求下列矩阵在复数域上的特征值和特征向量,解：,解：,三、证明题,1若,阶矩阵满足,，则,特征值可能是或,证明：设,2若,阶矩阵,，存在自然数,，使得,，则,的特征值是,证明：,3如果,可逆，,是,的特征值，则,是,的特征值.,证明：,4证明：,证明:设,习题二相似矩阵和矩阵可对角化,一、填空题,1若,，则,，则,2若,，则,3若,4,可对角化当且仅当,与对角阵相似,5,阶矩阵,有,个互不相同的特征值是,可对角化的,充分条件。,6判别矩阵,可对角化的方法是：判断是否有个,线性无关的特征向量,二、1证明：设是,阶方阵，且至少有一个可逆，则,证明：若可逆,若可逆,2证明：主对角线上的元素互不相同的上三角矩阵,必可对角化,证明：,有,个互不相同的特征值，可对角化,三、判别下列矩阵是否可对角化,复数域可对角化,实数域不可对角化,四、已知,，求,解：,习题三实对称矩阵的对角化,一、求正交矩阵，使为对角矩阵,解：,单位化,解：,二、证明题,1设是阶实对称矩阵，且，证明：,存在正交矩阵，使,证明：设,2证明：反对称实矩阵的特征值是零或纯虚数,证明：,为的任意特征值，,为的属于的特征向量,(1)两边转置,取共轭,(2),(2)右乘,(1)左乘,(3)+(4),3是两个实对称矩阵，证明：存在正交矩阵Q，使,的充分必要条件是具有相同的特征值,证明：必要性：,因为存在正交矩阵Q，使,所以,相似矩阵具有相同的特征值,具有相同的特征值,充分性：,具有相同的特征值,设,实对称矩阵,存在正交矩阵，,实对称矩阵,存在正交矩阵，,令,正交,自测题,一、填空题,1若为阶矩阵，有非零解则必有一特征值为0,提示：,2若是特征值，则（为正整数）有特征值为,3若为的特征向量，则的特征向量为_,提示：,4若阶矩阵有个属于特征值的线性无关的特征向量，,则,提示：,5已知三阶矩阵的三个特征值为1，2，3，则,的特征值为,提示：,6阶零矩阵的全部特征向量是全体非零列向量,7若，则_,提示：,8若阶矩阵与相似，且，则,提示：,9已知,且,，则,提示：,10三阶矩阵的三个互异特征值为，它们对应,的特征列向量分别为,则矩阵,的秩为3,二、选择题,1设是非奇异矩阵的特征值，则矩阵,有一特征值等于,（A）；(B)；(C)；(D).,2若阶矩阵的任意行中的个元素的和都是，则,的一个特征值为（）,（A）；(B)；(C)；(D).,提示：,3设是阶矩阵，是的特征值，是的分别,对应于的特征向量，则（）,（A）当时，一定成比例；,（B）当时，一定不成比例；,（C）当时，一定成比例；,（D）当时，一定不成比例；,4设阶矩阵与相似，则（）.,（A）(B)(C)（D),与都相似一个对角矩阵.,5阶矩阵具有个特征值是与对角矩阵相似的,（A）充分必要条件；(B)充分而非必要条件；(C)必要而非充分条件；(D)既非充分也非必要条件.,6矩阵,与下列哪个矩阵相似（）,(C),7阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是,（A）有个不全相同的特征值；,(B)方阵有个不相同的特征值；,(C)方阵一定是对角矩阵；,(D)方阵有个线性无关的特征向量.,(B)有个不全相同的特征值；,(C)有个不相同的特征值；,(D)有个线性无关的特征向量.,8若阶方阵与某个对角矩阵相似，则（）.,（A）方阵的秩等于；,9实阶矩阵为满秩矩阵，则（）.,（A）必有个互不相同的特征值；,(B)必有个线性无关的特征向量；,(C)必相似于一个满秩的对角矩阵；,(D)的特征值必不为零.,当时,10设是阶矩阵，是的特征值，是的分别,对应于的特征向量，对于不全为零的常数,有,（A）当时，必为的特征向量；,（B）当时，是相应于唯一的,两个线性无关的特征相量；,（C）当时，若是非零向量，则它必为的,特征向量；,（D）当时，必为相应于的两个,线性无关的特征相量.,三、计算题,1设,（1）试求矩阵的特征值；,（）利用（1）的结果，求的特征值,解：,（1）,（）,2,设实对称矩阵,求正交矩阵使为,对角矩阵,解：,3设为阶实矩阵，满足，试求的,伴随矩阵的一个特征值,证明：,设A的一个特征值,即证,方程有非零解,即证,的一个特征值,4已知三阶矩阵的特征值为矩阵（1）矩阵的特征值和与相似的对角矩阵；(2)行列式和,解：,试求,（1）,的特征值,(2),5设,，求（1）的所有特征值与特征向量；,（2）判别能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵，使为对角矩阵；（3）计算,解：,可对角化,四、证明题,