1 不定积分定义

第四章积分及其应用4.1不定积分概念与性质【学习本节要达到的目标】1、理解不定积分和原函数的概念2、理解不定积分与微分的关系2、掌握不定积分的性质,本章主要内容,一元函数的不定积分和定积分的概念与性质、积分法、无穷区间的广义积分和定积分的应用。,要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运算，这就是产生积分运算的原因。,提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规律），求曲线方程等等。,回顾:微分学的基本问题是“已知一个函数,如何求它的导数.”,那么,如果已知一个函数的导数,要求原来的函数,这类问题,是微分法的逆问题.这就产生了积分学.,为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：,我们熟悉乘方运算：,也熟悉导数运算：,于是提出新问题：,同样提出问题：,这不是乘方运算，而是它的逆运算开方运算。,这不是求导运算，而是它的逆运算积分运算。,一般来说，在下式里,同样，在下式里,通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下先给出原函数与不定积分的有关的定义。一、原函数与不定积分,这样就给我们提出了问题：原函数存在的条件？原函数有多少个？这些原函数之间有何关系？如何求出这些原函数？,例如而,在上是的原函数,也是它的原函数,即加任意常数都是的原函数.,(1)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个,若函数(x)在区间I上连续,则(x)在区间I上的原函数一定存在.,(2)若函数f(x)在区间I上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.,解,微分运算与积分运算互为逆运算.,不定积分与微分的关系,先积后微形式不变,先微后积差一常数,解,解,函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f(x)的积分曲线族.,在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f(x)为积分曲线在(x,f(x)处的切线斜率.,不定积分的几何意义,解设所求的曲线方程为,依题意可知,因此所求曲线的方程为,二、基本积分公式,解,练习：,三、不定积分的运算性质,性质2被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.,性质1可以推广到有限多个函数的情形，即,性质1函数代数和的不定积分等于不定积分的代数和，即,注意：不定积分没有积和商的运算法则。,证只要证明上式右端的导数等于左端的被积函数即可.由导数运算法则以及不定积分与微分的关系，有,这说明是函数的不定积分，所以欲证的等式成立.,性质1函数代数和的不定积分等于不定积分的代数和，即,例11求,解,注逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可,解,例13求,练习：,练习：,小结,原函数与不定积分的概念,基本积分公式,用直接积分法求不定积分要注意对被积函