高等流体力学-第2章-流体运动的基本方程组VIP

2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,1,第二章流体运动的基本方程组,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,2,建立完整的流体力学基本方程组，是从理论上(包括分析方法和数值方法)，解决流体力学问题的最重要的第一步，也是流体力学理论的核心和关键。,建立流体力学基本方程组的依据：流体运动所遵循的物理定律：,质量守恒动量守恒动量矩守恒能量守恒(热力学第一定律),热力学第二定律状态方程本构方程,物理定律以数学方程的形式表达即可得流体力学方程；数学表达式可是微分形式，也可是积分形式。,由这些物理定律建立的方程组应为封闭方程组，在给定的边界条件及初始条件下，存在适定解。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,3,主要内容,第一节系统与控制体第二节雷诺输运定理第三节基本方程组的一般论述第四节微分形式的连续性方程第五节微分形式的运动方程第六节微分形式的能量方程第七节积分形式的流体力学方程组第八节状态方程第九节初始条件及边界条件第十节流体力学的理论模型,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,4,第一节系统与控制体一、系统,一、系统对应于拉格朗日描述,第一节系统与控制体,系统：,系统指某一确定的流体质点的集合。拉格朗日描述中，以系统作为研究对象。,系统以外的环境称为外界；系统与外界的界面称为系统的边界。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,5,第一节系统与控制体一、系统,系统的特点：,系统将随系统内的质点一起运动，系统内的质点始终包含在系统内；系统边界的形状和所包围空间的大小，可以随运动而发生变化；系统与外界之间可以有力的作用及能量的交换，但无质量的交换。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,6,第一节系统与控制体一、系统,说明：,由于力学中的一些基本定律是建立在质点和质点系上的，因此，当以系统作为研究对象时，流体力学的力学定律就可以直接用原始的数学形式进行表达。在流体力学的许多问题中，把系统作为研究对象有时不很方便。流体力学中更感兴趣的是物理量场的分布，因此需要采用控制体的概念。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,7,第一节系统与控制体二、控制体,二、控制体对应于欧拉描述,控制体：,控制体是指，在流体所在的空间中，以假想或真实流体边界包围、固定不动、形状任意的空间体积。,控制体以外的环境称为外界；控制体的边界面称为控制面。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,8,第一节系统与控制体二、控制体,控制体的特点：,控制体的形状大小不变，并且相对于坐标系固定不动(坐标系可以运动)；控制体可通过控制面与外界环境有质量交换(控制体内的流体质点的组成是可变的)、能量交换以及力的相互作用。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,9,第二节雷诺输运定理一、物理量的定义,一、物理量的定义,第二节雷诺输运定理,t时刻的流场中，单位体积的流体所具有的物理量。,t时刻，流体域上流体的总物理量。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,10,第二节雷诺输运定理一、物理量的定义,t时刻，流体中取定的一体积,t时刻，体积(t)的周界面,周界面S(t)的外法线单位矢量,周界面S(t)上的流体速度,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,11,通过推导可得：,第二节雷诺输运定理二、雷诺输运定理,二、雷诺输运定理,某一时刻流体中取定体积上系统总物理量的时间变化率,某一时刻单位体积的流体所具有的物理量,控制体(空间域)中物理量的时间变化率,单位时间通过控制体(空间域)边界净输运的流体物理量之和,某一时刻流体中取定体积上系统总物理量,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,12,第二节雷诺输运定理二、雷诺输运定理,雷诺输运定理：,某一时刻系统总物理量的时间变化率，等于该时刻流体所在控制体(空间域)中物理量的时间变化率与单位时间通过该控制体边界净输运的流体物理量之和。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,13,说明：,控制体运动时，应用雷诺输运定理时，系统总物理量的时间变化率(方程左边项)需相对于随控制体一起运动的坐标系进行计算。方程右边第二项代表单位时间通过控制体表面的流体净输运物理量，式中的速度应为流体质点相对于控制体表面的速度。,第二节雷诺输运定理二、雷诺输运定理,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,14,第三节基本方程组的一般论述一、描述流体运动的基本定律,一、描述流体运动的基本定律,第三节基本方程组的一般论述,在流体力学里，流体运动必须遵循的定律：,质量守恒定律动量守恒定律动量矩守恒定律能量守恒定律(热力学第一定律)熵不等式(热力学第二定律),力学定律,热力学定律,制约流体运动的最基本的物理定律,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,15,第三节基本方程组的一般论述一、描述流体运动的基本定律,补充方程：,状态方程本构方程,有关物性方面的方程,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,16,第三节基本方程组的一般论述二、数学表达形式,二、数学表达形式,1.拉格朗日型基本方程与欧拉型基本方程,以拉格朗日变量为自变量的流体力学方程。侧重于研究流体质点运动。,拉格朗日型基本方程：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,17,第三节基本方程组的一般论述二、数学表达形式,以欧拉变量为自变量的流体力学方程。侧重于研究流体物理量的分布(场分布)。,欧拉型基本方程：,由于流体力学中大多数问题是想获得流体物理量的场分布，因此常常采用欧拉型基本方程。,说明：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,18,第三节基本方程组的一般论述二、数学表达形式,2.积分形式方程与微分形式方程,基本运动定律的数学表达式以积分的形式出现。在推导积分形式基本方程时，需在流体中取一个有限体积，通过运用基本定律经积分即可得到积分形式的基本方程。积分形式基本方程在求总体性流体物理量(如求压强的合力、流量等)时比较简单，但不能获得物理量的场分布。,积分形式基本方程：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,19,第三节基本方程组的一般论述二、数学表达形式,基本运动定律的数学表达式以微分的形式出现。在推导微分形式基本方程时，需在流体内取一流体微元，对该流体微元运用基本定律，即可直接得到微分形式的基本方程。通过微分形式基本方程的求解，可以获得物理量的场分布。,微分形式基本方程：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,20,第四节微分形式的连续性方程一、质量守恒定律,一、质量守恒定律,第四节微分形式的连续性方程,对系统而言的质量守恒定律：,包含在流体系统中的流体质量在运动过程中保持不变。,对控制体而言的质量守恒定律：,一个固定空间中的流体质量的变化率等于通过其表面的质量通量。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,21,第四节微分形式的连续性方程二、欧拉型的连续性方程,二、欧拉型的微分形式的连续性方程,欧拉型的微分形式的连续性方程：,或：,或：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,22,第四节微分形式的连续性方程二、欧拉型的连续性方程,两种特殊情况的连续性方程：,(1)定常运动,(2)不可压缩流体,表示从单位体积内净流出的质量为零。,表明流体不可压缩时，体积不膨胀不收缩。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,23,第四节微分形式的连续性方程二、拉格朗日型的连续性方程,三、拉格朗日型的微分形式的连续性方程,流体系统：t=t0：微元体积d0，密度0t=t：微元体积d，密度,质量守恒：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,24,第四节微分形式的连续性方程二、拉格朗日型的连续性方程,t0和t时刻流体质点的位置用质点的拉格朗日变数表示为：,变换,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,25,其中：,拉格朗日型的微分形式的连续性方程：,第四节微分形式的连续性方程二、拉格朗日型的连续性方程,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,26,第五节微分形式的运动方程,第五节微分形式的运动方程,动量守恒定律：,对一个给定的流体系统，其动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和。,数学表达式即为运动方程,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,27,第五节微分形式的运动方程一、运动方程,一、运动方程,根据动量守恒定律，通过一微六面体的受力分析，可以推得微分形式的运动方程：,其中：,单位体积流体的惯性力,作用于单位体积流体上的质量力,作用于单位体积流体上的表面力,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,28,第五节微分形式的运动方程一、运动方程,直角坐标系中的运动方程的分量形式：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,29,第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式,二、运动方程的几种特殊形式,1.纳维-斯托克斯方程(N-S方程),应变率张量,应用应力张量与应变率张量的关系进行变换，可以推得纳维-斯托克斯方程,单位体积的惯性力,单位体积的质量力,作用于单位体积流体的压强梯度力,粘性变形应力,粘性体膨胀应力,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,30,第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式,当流体均质不可压，即：,均质不可压时的纳维-斯托克斯方程的形式：,分量形式：,经常用到的形式,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,31,第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式,2.欧拉方程无粘性流体的运动方程,3.静力学方程,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,32,第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式,4.兰姆-葛罗米柯方程,通过加速度表达式的变换得到,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,33,第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式,(1)无粘性正压流体及体力有势条件下的兰-葛方程,在重力场中，体力有势，定义体力势，使：,流体为正压(密度仅仅为压强的函数)时，定义正压函数P，使：,无粘性正压流体及体力有势条件下的兰-葛方程：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,34,第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式,在流动定常情况下，对上式进行数学处理并沿流线进行积分，可以推得伯努利积分：,如果密度为常数，伯努利积分演变为：,成立条件：可压缩或不可压缩流体的有旋或无旋定常流动、沿流线。,单位质量流体的动能,单位质量流体以压强p向周围流体所作的功,单位质量流体的重力势能,(2)伯努利积分,无粘性正压流体及体力有势条件下的兰-葛方程,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,35,第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式,伯努利积分仅对无粘性正压流体，在体力有势和定常运动情况下沿一流线各点成立。伯努利积分虽仅对一流线成立，但在工程中，也可近似用于拟一维定常管道的流动。对于随时间变化缓慢的流动，可近似认为每一时刻的流动是定常的，伯努利积分可近似应用。伯努利积分不宜应用的场合：,伯努利积分应用的说明：,有较大逆压梯度和强烈混合的流动；局部压强等于或小于液体饱和蒸气压强的区域；通过有机械能输入输出的装置的流动。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,36,第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式,当流动无旋时，流场存在速度势函数：,(3)拉格朗日积分,引入速度势函数后，对上式直接进行积分，得拉格朗日积分或柯西积分：,随时间变化的常数；在同一时刻，对全流场为同一常数。,无粘性正压流体及体力有势条件下的兰-葛方程,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,37,第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式,流动无旋又定常,表明：无粘性、正压、体力有势、定常、无旋条件下，对任何时刻和对流场中任何点，左边各项之和为同一常数。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,38,第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式,伯努利积分：,伯努利积分与拉格朗日积分的比较：,拉格朗日积分：,伯努利积分对定常有旋或无旋流动沿流线成立，对不同的流线有不同的积分常数。拉格朗日积分对非定常无旋流动的全流场成立，但对不同时刻有不同的积分常数。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,39,第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式,5.非惯性系中的运动方程(相对运动方程),速度之间的关系：,绝对速度,相对速度,牵连速度,其中：,运动系的平动速度,运动系的转动角速度,矢径,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,40,第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式,加速度之间的关系：,绝对加速度,相对加速度,牵连加速度,其中：,科氏加速度,进行速度和加速度的代换，即可得相对运动方程。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,41,第五节微分形式的运动方程二、运动方程的几种特殊形式,相对运动方程：,牵连加速度,相对速度,运动系的转动角速度,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,42,第五节微分形式的运动方程三、拉格朗日型运动方程,三、无粘性流体的拉格朗日型运动方程,无粘性流体的运动方程(欧拉方程)：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,43,第五节微分形式的运动方程三、拉格朗日型运动方程,无粘性流体的拉格朗日型运动方程：,质量力需用拉格朗日变量进行表示,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,44,第五节微分形式的运动方程四、柱坐标下的运动方程,四、柱坐标下的运动方程,分量形式：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,45,第五节微分形式的运动方程五、动量矩方程,五、动量矩方程,动量矩守恒定律：,对一给定流体系统，其动量对某一参考点的动量矩的时间变化率，等于作用于流体上的力对同一点力矩的矢量和。,根据微六面体的受力分析，可以推得微分形式的动量矩方程：,动量矩方程：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,46,第六节微分形式的能量方程,第六节微分形式的能量方程,如果在一个实际问题中，热过程参与流体的运动，则能量方程就成为一个需要求解的独立方程。在具有热量传递的流体流动中，除了要研究速度场问题外，还需要求解温度场问题，而速度场和温度场往往相互耦合，这给求解带来一定的困难。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,47,第六节微分形式的能量方程,能量守恒定律(热力学第一定律)：,对某一流体系统所作的功和加给该系统的热量，将等于该系统能量的增加：,单位时间所作的功,单位时间加给系统的热量,系统能量E的变化率,将其应用于流体运动，则可得能量方程,系统的能量可以表示为：,单位质量的储存能,单位质量的内能,单位质量的动能,单位质量的重力势能,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,48,第六节微分形式的能量方程一、能量方程,一、能量方程,根据一个微元六面体的能量分析，利用能量守恒定律，可以推得微分形式的能量方程：,单位质量的储存能,质量力,表面应力张量,流体导热系数,流体温度,单位时间内加给单位质量流体的辐射热量,单位质量流体储存能的变化率,单位时间内质量力对单位质量流体所作功,单位时间内表面力对单位质量流体所作功,单位时间内外界通过单位质量流体表面传导输入的热量,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,49,第六节微分形式的能量方程二、动能(机械能)方程,二、动能(机械能)方程,通过将速度点乘运动方程，并经过组合整理，可以推得微分形式的动能方程(机械能方程)：,单位时间内表面力对单位质量流体所作功，此功可转换为动能。,对于无粘性流体：,单位时间内质量力对单位质量流体所作功,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,50,第六节微分形式的能量方程三、内能方程,三、内能方程,忽略辐射热,内能表示的能量方程,对应力张量进行数学变换,称为耗散功，与粘性有关的部分，表示粘性力所作的功转换为热。,表示流体压缩或膨胀时，压强p所作的功:压缩时，功转为内能膨胀时，内能转为功,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,51,第六节微分形式的能量方程三、内能方程,其中：,耗散功，与粘性有关的部分。,表示功总是被耗散的。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,52,第六节微分形式的能量方程三、内能方程,内能方程的进一步简化：,对不可压缩流体：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,53,第六节微分形式的能量方程三、内能方程,对完全气体：,用焓表示的能量方程,用熵表示的能量方程,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,54,第七节积分形式的流体力学方程组,第七节积分形式的流体力学方程组,方程组中的基本量：，S，v，T，p,体积元容积,体积元表面积,流体密度,流体速度,流体温度,流体压强,奥高公式：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,55,第七节积分形式的流体力学方程组一、连续性方程,一、连续性方程,流体中取一体积元，对该体积元实施质量守恒定律，整理可得：,或：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,56,第七节积分形式的流体力学方程组一、连续性方程,对有限控制容积成立的积分形式的连续性方程：,对均质不可压缩流体：,代表控制容积的体积,代表控制容积的表面积,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,57,第七节积分形式的流体力学方程组一、连续性方程,如果流体运动时，控制体只有N个表面区域被流体穿过，用An代表这些表面区域，则有：,对均质不可压缩流体：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,58,第七节积分形式的流体力学方程组二、运动方程,二、运动方程,设：作用于体积元上的一切外力为：体积元表面的法向压强为：作用于单位质量上的质量力为：体积元的动量为：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,59,流体中取一体积元，对该体积元实施动量守恒原理，可得积分形式的运动方程：,或：,第七节积分形式的流体力学方程组二、运动方程,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,60,第七节积分形式的流体力学方程组二、运动方程,非惯性系中的积分形式的运动方程：,若运动坐标系无旋转(仅作平移运动)，则有：,运动坐标系相对于惯性系的牵连加速度,科氏加速度,运动坐标系内的相对速度,运动坐标系的平移速度,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,61,对有限控制体积成立的积分形式的运动方程：,分量形式：,第七节积分形式的流体力学方程组二、运动方程,作用于控制体上的一切外力，包括体力和表面力。,相对于固定或匀速运动控制体的速度矢量,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,62,如果流体运动时，控制体只有N个表面区域被流体穿过，用An代表这些表面区域，则运动方程可以表示为：,第七节积分形式的流体力学方程组二、运动方程,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,63,第七节积分形式的流体力学方程组三、动量矩方程,三、动量矩方程,设：体积元相对于坐标原点的位置矢量为：作用于体积元上的总转矩为：体积元的动量矩为：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,64,流体中取一体积元，对该体积元实施动量矩守恒原理，可得积分形式的动量矩方程：,或：,第七节积分形式的流体力学方程组三、动量矩方程,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,65,对有限控制体积成立的积分形式的动量矩方程：,其中：,第七节积分形式的流体力学方程组三、动量矩方程,作用于控制体上的一切转矩,由表面力产生的转矩,由重力产生的转矩,由转轴产生的转矩,忽略表面力产生的转矩和体力产生的转矩，对于定常运动，可得：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,66,第七节积分形式的流体力学方程组四、能量方程,四、能量方程,设：单位质量流体的储存能、内能、动能及势能分别为：单位时间体积元与外界交换的总热量为：外界对体积元所作的总功为：体积元的储存能为：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,67,流体中取一体积元，对该体积元实施能量守恒定律，可得积分形式的能量方程：,第七节积分形式的流体力学方程组四、能量方程,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,68,第七节积分形式的流体力学方程组四、能量方程,其中：,单位时间传入体积元的辐射热,单位时间通过体积元表面传入的热量,单位时间外界对体积元所作的总功,单位时间外界对体积元所作的机械功,单位时间质量力对体积元所作的功,单位时间体积元表面法向压强所作的功,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,69,第七节积分形式的流体力学方程组四、能量方程,如果忽略辐射热、质量力及表面力作功，则有：,如果忽略辐射热与机械功，则有：,或：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,70,第七节积分形式的流体力学方程组四、能量方程,其中：,对有限控制体积成立的积分形式的能量方程：,单位时间通过控制体表面传入传出的热量,外界对控制体所作的机械功,单位质量流体的储存能,该式忽略了质量力和表面力作功,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,71,第七节积分形式的流体力学方程组四、能量方程,对于定常流动，方程可以表示为：,如果流体运动时，控制体只有N个表面区域被流体穿过，用An代表这些表面区域，则能量方程可以表示为：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,72,第七节积分形式的流体力学方程组四、能量方程,当仅有一进口截面1与一出口截面2时，并认为在进出口截面处流动参数分布均匀，则有：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,73,第八节状态方程一、状态方程,第八节状态方程,一、状态方程,状态参量：,描述流体状态的宏观量：T，V，p,状态方程：,状态参量之间所满足的函数关系式。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,74,第八节状态方程一、状态方程,对于完全气体：,或：,或：,气体摩尔数,普适气体常数,气体常数,对于高度压缩气体：,范德瓦尔斯方程,范德瓦尔斯常数,范德瓦尔斯常数,对于实际气体或液体：,组分情况,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,75,第八节状态方程二、正压流体与斜压流体,二、正压流体与斜压流体,斜压流体：,流体密度为压强和温度函数的流体。在斜压流体中，等密度面与等压强面相互斜交。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,76,第八节状态方程二、正压流体与斜压流体,正压流体：,流体密度仅为压强函数的流体。在正压流体中，等密度面与等压强面重合。,完全气体绝热或等温运动时，根据状态方程，密度与压强的关系为：,不可压流体，质点密度不变：流体正压。,流体正压,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,77,第八节状态方程三、完全气体的内能及熵,三、完全气体的内能及熵,根据工程热力学中的热力学第一和第二定律以及内能的表达式，推导可得：,完全气体内能的表达式：,完全气体熵的表达式：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,78,第九节初始条件及边界条件一、方程的封闭性,第九节初始条件及边界条件,一、方程的封闭性,连续性方程：,运动方程：,或,均质不可压缩流体,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,79,第九节初始条件及边界条件一、方程的封闭性,动量矩方程：,能量方程：,或,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,80,第九节初始条件及边界条件一、方程的封闭性,状态方程：,本构方程：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,81,第九节初始条件及边界条件一、方程的封闭性,方程的封闭性：,微分形式的流体力学基本方程共有12个，(1个连续性方程，3个运动方程，3个动量矩方程，1个能量方程，1个状态方程，3个本构方程)；方程中共包含12个未知量(u,v,w,T,pxx,pyy,pzz,pxy,pyz,pzx,)。方程封闭,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,82,第九节初始条件及边界条件二、初始条件,二、初始条件,初始条件：,初始时刻，各未知量的函数分布。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,83,第九节初始条件及边界条件三、边界条件,三、边界条件,边界条件：,在求解域的边界上，流体物理量应满足的条件。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,84,第九节初始条件及边界条件三、边界条件,1.流固分界面边界条件,对于粘性流体：,对于无粘性流体：,流体可沿界面滑移，但不能离开界面。即流体的法向速度分量等于固体法向速度分量。,或,无滑移边界条件：在流固边界上，流体在一点的速度等于固体在该点的速度。,无温差条件,绝热条件,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,85,第九节初始条件及边界条件三、边界条件,2.液液分界面边界条件,密度不同的两种液体分界面的边界条件：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,86,第九节初始条件及边界条件三、边界条件,3.液气分界面边界条件,液气分界面为自由面。自由面本身的运动和变形需要满足自由面的运动学条件。,根据流体质点在自由面上一点的法向速度等于自由面本身在这一点的法向速度，可以推得自由面的运动学条件：,设自由面方程为：,则有：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,87,第九节初始条件及边界条件三、边界条件,4.无限远边界条件,无限远边界条件为：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,88,第十节流体力学的理论模型,第十节流体力学的理论模型,在连续介质假设的基础上建立的流体运动所应满足的基本方程组具有广泛的适用性。但由于方程的非线性特征及方程中变量的相互耦合，求解非常困难，甚至不可能。必须要根据具体问题的特点，在假设、简化和近似的基础上，设计出一个合理的理论模型。,一方面要符合物理定律,另一方面要易于求解,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,89,第十节流体力学的理论模型一、粘性流动与无粘性流动模型,一、粘性流动与无粘性流动模型,粘性是流体的一种物理特性，它表示流体各部分之间进行动量传递的难易程度，反映的是流体抵抗剪切变形的能力。实际流体都是有粘性的，流体的粘性可用粘度系数来衡量。,粘性流体的正确理解：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,90,第十节流体力学的理论模型一、粘性流动与无粘性流动模型,粘性应力与粘度系数及速度梯度有关：,流体粘性可用粘度系数衡量，但粘度系数大的流体的流动未必一定需当作粘性流动处理。,虽然流体粘度系数较大，但流场速度梯度很小，剪切力仍然不大的话，则可将流体流动作为无粘性流动处理。虽然流体粘度系数较小，但流场速度梯度很大，剪切力很大的话，则有必要把流体流动作为粘性流动处理。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,91,第十节流体力学的理论模型一、粘性流动与无粘性流动模型,粘性流体是一切真实流体的模型，它具有普遍的意义。但在流体流动理论模型中，粘性的考虑使方程的求解困难增加，甚至不可求解。,1.粘性流动模型,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,92,第十节流体力学的理论模型一、粘性流动与无粘性流动模型,粘性不可压缩流体流动的理论模型：(纳维-斯托克斯方程组),2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,93,第十节流体力学的理论模型一、粘性流动与无粘性流动模型,流体粘性的考虑给流体运动分析带来极大困难。,2.无粘性流动模型,为避开这个困难，对于粘性效应不十分显著的流动，可忽略其粘性，这既可不引起流动主要特征的太大偏差，又可使对流体运动的分析带来简便。无粘性流动模型,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,94,第十节流体力学的理论模型一、粘性流动与无粘性流动模型,无粘性不可压缩流体流动的理论模型：(欧拉方程组),2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,95,第十节流体力学的理论模型二、可压缩流动与不可压缩流动模型,二、可压缩流动与不可压缩流动模型,流体的可压缩性指在外力作用下，流体的体积或密度发生改变的性质。流体的可压缩性通常可用等温压缩系数来衡量。流体都是可压缩的，相对而言，液体的可压缩性比较小，气体的可压缩性比较大。,流体可压缩性的正确理解：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,96,第十节流体力学的理论模型二、可压缩流动与不可压缩流动模型,虽然流体的可压缩性可用等温压缩系数来衡量，但并不是等温压缩系数大的流体的流动就必须作为可压缩流动处理。,虽然等温压缩系数大，但压强变化很小，使得压缩效应很小，此时可将该流体视为不可压缩流体。虽然等温压缩系数较小，但压强变化很大，使得压缩效应很大，此时就需要将该流体作为可压缩流体。,压缩性的影响依赖于等温压缩系数和流体压强变化的大小,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,97,第十节流体力学的理论模型二、可压缩流动与不可压缩流动模型,在等温压缩系数一定的条件下，通常采用v/a0.3作为可压缩与不可压缩流动的分界。,流体可压缩性的衡量：,声速,v/a0.3：认为流体不可压缩v/a0.3：认为流体可压缩,如果气体的速度小于110m/s，可认为该气体的流动为不可压缩流动。,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,98,第十节流体力学的理论模型二、可压缩流动与不可压缩流动模型,可压缩时，流体运动将变得复杂得多：可压缩时，密度为变数，密度的变化不仅会引起流体热状态的变化，同时反过来影响流体的力学状态。数学上，方程中的未知量多了一个，需引入状态方程。连续性方程变为非线性，使求解困难。,1.可压缩流动模型,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,99,第十节流体力学的理论模型二、可压缩流动与不可压缩流动模型,可压缩无粘性完全气体流动的理论模型：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,100,第十节流体力学的理论模型二、可压缩流动与不可压缩流动模型,在处理实际问题时，为了简便，有时可将流体密度近似为不变不可压缩流动。采用不可压缩模型时，将使方程组得到很大简化，由于密度为常数，方程组将减少一个未知量。在一定条件下，液体和气体的流动都可视为不可压缩流动。,2.不可压缩流动模型,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,101,第十节流体力学的理论模型三、非定常流动与定常流动模型,三、非定常流动与定常流动模型,1.非定常流动模型,流体的流动参数随时间变化的流动称为非定常流动。除了流动参数随时间变化极慢的流动可以近似为定常流动外，都必须考虑流动的非定常效应。非定常流动模型：,2020/6/9,高等流体力学第二章流体运动的基本方程组,102,第十节流体力学的理论模型三、非定常流