第九章常微分方程数值解课件VIP

第九章,常微分方程数值解法,（NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations）,问题驱动：蝴蝶效应,洛伦兹吸引子(Lorenzattractor)是由MIT大学的气象学家EdwardLorenz在1963年给出的，他给出第一个混沌现象蝴蝶效应。,图9.1.1蝴蝶效应示意图,洛伦兹方程是大气流体动力学模型的一个简化的常微分方程组：,该方程组来源于模拟大气对流，该模型除了在天气预报中有显著的应用之外，还可以用于研究空气污染和全球侯变化。洛伦兹借助于这个模型，将大气流体运动的强度x与水平和垂直方向的温度变化y和z联系了起来。参数,称为普兰特数，,是规范,化的瑞利数，,和几何形状相关。洛伦兹方程是非线性方程组，,无法求出解析解，必须使用数值方法求解上述微分方程组。洛伦兹用数值解绘制结果图9.1.1，并发现了混沌现象。,1引言,微分方程数值解一般可分为：常微分方程数值解和偏微分方程数值解。自然界与工程技术中的许多现象，其数学表达式可归结为常微分方程（组）的定解问题。一些偏微分方程问题也可以转化为常微分方程问题来（近似）求解。Newton最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。许多著名的数学家，如Bernoulli（家族），Euler、Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循历史传统，研究重要的力学问题的数学模型，在这些问题中，许多是常微分方程的求解。作为科学史上的一段佳话，海王星的发现就是通过对常微分方程的近似计算得到的。本章主要介绍常微分方程数值解的若干方法。,一、初值问题的数值解法,1、一阶常微分方程初值问题的一般形式,常微分方程的数值解法分为（1）初值问题的数值解法（2）边值问题的数值解法,(2)一般构造方法：离散点函数值集合+线性组合结构近似公式,2.迭代格式的构造,(1)构造思想：将连续的微分方程及初值条件离散为线性方程组加以求解。由于离散化的出发点不同，产生出各种不同的数值方法。基本方法有：有限差分法（数值微分）、有限体积法（数值积分）、有限元法（函数插值）等等。,(3)如何保证迭代公式的稳定性与收敛性?,3.微分方程的数值解法需要解决的主要问题,(1)如何将微分方程离散化，并建立求其数值解的迭代公式？,(2)如何估计迭代公式的局部截断误差与整体误差？,称在区域D上对满足Lipschitz条件是指:,记,4、相关定义,二、初值问题解的存在唯一性,考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:,则上述IVP存在唯一解。,只要在上连续,且关于y满足Lipschitz条件，,即存在与无关的常数L使,对任意定义在上的都成立，,求函数y(x)在一系列节点a=x0x1xn=b处的近似值的方法称为微分方程的数值解法。,称节点间距为步长，通常采用等距节点，即取hi=h(常数)。,称为微分方程的数值解。,三、初值问题的离散化方法,离散化方法的基本特点是依照某一递推公式，,值,取。,按节点从左至右的顺序依次求出的近似,如果计算需用到前r步的值,则称这类方法为r步方法。,2欧拉方法/*EulersMethod*/,欧拉公式(单步显示公式）：,向前差商近似导数,亦称为欧拉折线法/*Eulerspolygonalarcmethod*/,在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y(xi+1)yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。,定义2.2,若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。,定义2.1,欧拉法的局部截断误差：,Ri的主项/*leadingterm*/,欧拉法具有1阶精度。,例1:用欧拉公式求解初值问题,取步长。,解:应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为：,其中。,计算结果列于下表：,可用来检验近似解的准确程度。,进行计算，数值解已达到了一定的精度。,这个初值问题的准确解为，,从上表最后一列，我们看到取步长,隐式欧拉法(向后Euler法）/*implicitEulermethod*/,向后差商近似导数,注：由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有1阶精度。,梯形公式/*trapezoidformula*/,显、隐式两种算法的平均,注：梯形公式的局部截断误差，,即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。,但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到,迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,欧拉公式的改进,中点欧拉公式/*midpointformula*/,中心差商近似导数,假设,则可以导出即中点公式具有2阶精度。,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,精度提高,显式,多一个初值,可能影响精度,Cantyougivemeaformulawithalltheadvantagesyetwithoutanyofthedisadvantages?,Doyouthinkitpossible?,Well,callmegreedy,OK,letsmakeitpossible.,改进欧拉法/*modifiedEulersmethod*/,Step1:先用显式欧拉公式作预测，算出,注:此法亦称为预测-校正法/*predictor-correctormethod*/,可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它,是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程,简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合，计算公式为,应用改进欧拉法,如果序列收敛,它的极限便满足方程,改进欧拉法的截断误差,因此，改进欧拉法公式具有2阶精度,二元函数的n阶Taylor展式：,例2:,用改进Euler公式求解例1中的初值问题，,取步长。,解：对此初值问题采用改进Euler公式，其具体形式为,计算结果列于下表：,改进的Euler法,Euler法,通过计算结果的比较可以看出，改进的Euler方法,的计算精度比Euler方法要高。,3龙格-库塔法/*Runge-KuttaMethod*/,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，,欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,以某一斜率沿直线达到点。,考察改进的欧拉法，可以将其改写为：,斜率一定取K1K2的平均值吗？,步长一定是一个h吗？,首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得,Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开,Step2:将K2代入第1式，得到,Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,二阶中点方法,取,二阶Heun方法,取,记,则,二级Runge-Kutta格式的精度,因此局部截断误差只能达到,二级Runge-Kutta方法的精度不超过二阶！,为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,n级显式Runge-Kutta公式,三级Runge-Kutta方法,取n=3，得,记,三级Runge-Kutta方法的精度,则,又由于,因此要使局部截断误差为，必须,三阶Kutta方法,取,得,三阶Heun方法,取,得,三级Runge-Kutta方法的精度不超过三阶,完全类似于二级Runge-Kutta方法的分析,三级Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,将和都展开到项,易证,四级R-K方法,取n=4,得,其中，,局部截断误差为O(h5),四阶经典龙格-库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：,例3用四阶R-K方法求初值问题,注：该问题有一个明显的解析解,易知,截断误差为,附注：,二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,五阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,注：龙格-库塔法的主要运算在于计算的值，即计算的值。Butcher于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精,太好的解，最好采用低阶算法而将步长h取小。,度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不,4单步方法的收敛性与稳定性/*ConvergencyandStability*/,收敛性/*Convergency*/,例4：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的x=xi=ih，有,稳定性/*Stability*/,例：考察初值问题在区间0,0.5上的解.分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.00002.00004.00008.00001.60001013.2000101,1.00002.50001016.25001021.56251023.90631039.7656104,1.00002.50006.25001.56261013.90631019.7656101,1.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107,Whatiswrong?!,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程/*testequation*/,常数，可以是复数,我们称算法A比算法B稳定，就是指A的绝对稳定区域比B的大。,当步长取为h时，将某算法应用于上式，并假设只在,初值产生误差，则若此误差以后逐步衰减,就称该算法相对于绝对稳定，的全体构成,绝对稳定区域。,例5：考察显式欧拉法,由此可见，要保证初始误差0以后逐步衰减，必须满足：,例6：考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,例7：隐式龙格-库塔法,其中2阶方法的绝对稳定区域为,无条件稳定,而显式14阶方法的绝对稳定区域为,5*线性多步法（阅读材料）,通常可以采用线性多步法，它的构造思想是利用前面多步信息进行计算，以获得较高精度的数值公式。多步法中最常用的是线性多步法。,一、一般迭代格式,设线性多步法的一般迭代格式为：,。,为隐式。,构造线性多步法的主要途径有基于数值积分法和基于Taylor展开方法。这里介绍基于Taylor展开式的构造方法，即将线性多步公式在,下面介绍几种常见的线性多步法。,可解得,，相应的线性多步公式为,差为,二、Adams格式,相应的线性多步公式为,称为四阶的Adams隐式公式，其局部截断误差为,三、Milne公式,，相应的线性多步公式为,称为Milne公式，其局部截断误差为,Milne公式是四阶四步显式公式。,四、Hamming公式,其局部截断误差为,，Hamming公式是四阶三,步隐式公式。注意若只有一个初值，不能用多步法，需先用单步法算出个值，再用多步法。,用显式公式计算预测值，然后用隐式公式进行校正，得到近似值，这样的一组计算公式称为预测校正格式。一般采用同阶的隐式公式与显式公式，常用的预测校正系统有两种：,1Adams预测-校正格式,2Milne-Hamming预测-校正格式,以上两种预测-校正格式均为四阶公式，其起步值通常用四阶R-K方法计算。有时为了提高精度，校正格式可以多次迭代，但通常迭代次数不超过3次.,例8用Adams预测-校正格式求解初值问题,，先用四阶Runge-Kutta方法计算初始值,，,然后使用Adams预测-校正格式，计算结果如表9.5.1所示,表9.5.1,解：取步长,比较显示，计算结果相当精确。,6方程组与高阶方程的解法,一阶微分方程初值问题的各种数值解法，同样适用于一阶微分方程组与高阶方程。下面介绍含有两个未知函数的方程组和二阶方程的解法，可以将其推广到更高阶以及更大规模的方程组。,一、一阶方程组,设有一阶方程组初值问题,1欧拉法的计算格式,2改进欧拉法的预测-校正格式,3四阶标准R-K公式,4四阶Adams显式格式,二、高阶方程,1迭代格式的构造,基本思想：化高阶微分方程为一阶微分方程组，然后采用某种数值解法求出解函数及解函数各阶导数的近似值。构造方法：以二阶导数为例说明求解高阶微分方程的方法，并采用古典形式的龙格-库塔公式求解。,设二阶微分方程的初值问题为,引进新的变量,，即可化为下列一阶方程组的初值问题：,利用四阶经典形式的龙格-库塔公式求解方程组有,以及,，,消去,，则上述格式可表示为,其中，,Lorenz方程组求解,使用四阶Ronge-kutta法求解洛伦兹方程，其中参数值取法如下：,解：将初始条件代入四阶Ronge-kutta求解公式，步长取,用Matlab编程实现求出解的轨迹如图9.1.1所示。,历史与注记,欧拉（LeonhardEuler，1707-1783）欧拉是瑞士数学家，1707年生于瑞士巴塞尔，1783年卒于俄国彼得堡。1727年，欧拉应彼得堡科学院的邀请到俄国。1731年接替丹尼尔第一.伯努利成为物理教授。1741年受普鲁士腓特烈大帝邀请到柏林科学院工作，达25年之久。1766年，他应俄国沙皇喀德林二世的礼聘重回彼得堡。在1771年，一场,重病使他的左眼亦完全失明，但他以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作，直至生命的最后一刻。,欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支，如无穷级数、微分方程等的产生与发展奠定了基础。在微分几何方面，欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式。在分析学上的贡献不胜枚举，而且还解决了着名的哥尼斯堡七桥问题，创立了拓扑学。在数