数学分析期末复习

,积分与积分的应用,积分法,原函数,选择u有效方法,基本积分表,第一换元法第二换元法,直接积分法,分部积分法,不定积分,有理函数的积分,不定积分的主要内容,或,设是定义在区间内的已知函数如果存在可导函数，使对于任意的，都有,则称是函数在上的一个原函数,定义,1.基本概念,定义2,如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则称f(x)的全体原函数F(x)+C（C为任意常数）为f(x)的不定积分，记作,是常数),两个函数代数和的不定积分，等于这两个函数不定积分的代数和,被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即,().,性质,性质,2.基本性质,(1)直接积分法,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,(2)第一类换元法（凑微分法）,3.积分的方法,计算过程,把原积分化为积分变量为t的积分，具体过程如下：,(3)第二类换元法,代换的一般规律如下：当被积函数中含有,可令,变量还原时通常可采用如下方法:,常用三角代换:,可令,可令,（4）分部积分法,分部积分公式,选择u的有效方法:三指幂反对,对-对数函数；,反-反三角函数；,幂-幂函数；,三-三角函数；,指-指数函数；,哪个在后哪个选作u.,(5)有理函数的积分,当nm时,称这有理函数是真分式;而当nm时,称这有理函数是假分式.,有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数:,有理函数的定义：,（1）分母中若有因式，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,则分解后为,（2）分母中若有因式,其中,（3）真分式化为部分分式之和的方法(拼凑法,待定系数法,赋值法或者是几种方法相结合),令,（6）三角函数有理式的积分,定义,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,一些特殊的类型有特殊的方法,（7）简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,令,问题1:曲边梯形的面积,问题2:变速直线运动的路程,定积分的概念,定积分的性质,定积分的计算,牛顿-莱布尼茨公式,定积分的主要内容,1、定积分的定义,定义,设函数在区间上有定义，在中插入个分点，把区间分成个小区间每个小区间的长度依次为,在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作和式（称为积分和式）记，如果当时，和式的极限存在，且极限值与分割与取点无关，则称这个极限值为函数在上的定积分（简称积分），记作，即,说明：,定积分的几何意义,定积分的值等于曲边梯形面积；,定积分的值等于曲边梯形面积的负值；,定积分的值等于各部分面积的代数和,2.定积分的简单性质,性质1,性质2,推广,性质3(积分区间可加性),设函数在区间上可积,则对于任意的,在上也可积,于是积分,存在,我们称此积分为,变上限定积分,3.变上限定积分,(连续函数原函数存在定理),设在区间上连续,则函数,在区间上可导,且,即是在区间上的一个原函数.,例,（1）（2）（3）,(牛顿-莱布尼兹公式),设在区间上连续,是的任一原函数,即,则有,记作,定理,1定积分的换元积分法,设函数在上连续，令，且满足(1)(2)当从变化到时，单调地从变化到；(3)在上连续则上式称为定积分的换元公式,定积分的计算（直接积分法）,（1）,（2）,应用换元公式时应注意:,2、定积分的分部积分公式,通俗地讲,就是边积边算.,定积分的应用：平面区域的面积:一.直角坐标方程情形,1.由连续曲线y=f(x)，以及直线x=a，x=b,(ab）和x轴所围曲边梯形的面积为,2.由曲线y=f(x),y=g(x)及直线x=a,x=b所围成,的图形的面积可表示为,3.由曲线xg1(y),xg2(y)及直线y=c,y=d所,围成的图形的面积可表示为,如果曲边梯形的曲边为参数方程,则曲边梯形的面积为,二、参数方程情形,A(x),一、已知平行截面面积的立体的体积公式:,立体的体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体它是平行截面为圆的特殊的立体。,x,过点x且垂直于x轴的截面是以f（x）为半径的圆，,于是得旋转体的体积为,f（x）,a,b,二、旋转体的体积,当考虑连续曲线段,绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有,第三章导数的应用,3.5弧微分和曲线的曲率,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,一、弧微分,内容小结,1.弧长微分,或,2.曲率公式,3.曲率圆,曲率半径,解,例题,上的对应点为MN并设对应于x的增量Dx弧s的增量为Ds.,因为当Dx0时DsMN又Dx与Ds同号所以,由此得弧微分公式:,或者,弧微分公式设xxDx为(ab)内两个邻近的点它们在曲线yf(x),曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量,弯曲程度越大转角越大,转角相同弧段短的弯曲大,1、曲率的定义,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为,对应切线,定义,弧段上的平均曲率,点M处的曲率,注:直线上任意点处的曲率为0!,转角为,曲率的计算公式,注:参数方程下曲率的计算,三、曲率圆与曲率半径,设M为曲线C上任一点,在点,在曲线,把以D为中心,R为半径