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7.1关于实数完备性的基本定理,第七章实数的完备性,7.1关于实数完备性的基本定理,定义,定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即闭区间的端点满足不等式:,一区间套定理与柯西收敛准则,说明:,1区间套,则称,为闭区间套,简称区间套.,2区间套定理,定理7.1(区间套定理)设,闭区间套.则在实数系中存在唯一的点,使对,有,简言之,区间套必有唯一公共点.,是一,定理的证明,证毕.,推论,说明:,区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立.,证明设,在区间,上连续，,并记,令,如果,结论已经成立，故可设,那么,与,有一个小于零，不妨设,记,再令,例1用区间套定理证明连续函数根的存在性定理.,如果,结论已经成立，故可设,那么,与,有一个小于零，并记这个区间为,将这个过程无限重复下去，就得到一列闭区间,（1）,（2）,（3）,满足：,由（1）和（2）知,是一个区间套，由定理,且有,因为,在点,连续，所以由,得,则必有,显然,它就是,的一个零点.,7.1，存在,二聚点定理,1聚点定义,对于点集,若点的任何邻域都含有中异于的点,即,则称为的聚点.,若存在各项互异的收敛数,则其极限称为的聚点.,聚点概念和下面两个定义等价:,说明:,定义,定义,证：定义2,定义,显然成立,定义,定义,由定义,取,再取,则,且显然,一般取,则,且显然,与,互异,无限地重复以上步骤，得到,中各项互异的数列,且由,易见,定义,定义2,当,时，必有,且因,各项互不相同，故,内含有,中无限多个点,2定理7.2(Weierstrass聚点定理),实轴上任一有界无限点集至少有一个聚点.,定理的证明,三有限覆盖定理,1开覆盖定义,若中开区间的个数是无限(有限)的,则称为的一个无限(有限)开覆盖.,设为数轴上的点集,为开区间的集合,(即的每一个元素都是形如的开区间).若中任何一点都含在至少一个开区间内,则称为的一个开覆盖,或简称覆盖.,2定理7.3(Heine-Borele有限覆盖定理),设为闭区间的一个(无限)开覆盖,则从中可选出有限个开区间来覆盖.,定理的证明,证明设,在区间,上连续.根据连续函数,存在正数,以及正数,当,时有,作开区间集,例2用有限覆盖定理证明：,闭区间上连续函数的有界性定理.,的局部有界性定理，对于任意的,显然,覆盖了区间,根据有限覆盖定理，存在,它们也覆盖了,令,那么对于任意的,存在,使得,并且有,中有限个开区间,那么对于任意的,四小结,(1)区间套的概念;,(2)区间套定理;,(3)聚点的概念;,(4)Weierstrass聚点定
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