实变函数论第6讲直线上的点集

第6讲直线上的点集,目的：掌握Cantor集的构造，熟悉直线上开集与闭集的构造。重点与难点：Cantor集的构造。,第6讲直线上的点集,一自密集、疏朗集、完备集问题1：回忆开集与闭集的定义，可否通过集合与其导集的关系重新定义开集与闭集？问题2：集合与其导集有哪些可能的关系？,第6讲直线上的点集,定义5（i）若，即的每一点都是自身的聚点，则称是自密集；（ii）若，则称是完备集合。定义6假设是中的一个集合，如果不包含任何邻域，则称为无处稠密的。,第6讲直线上的点集,问题3：能否在直线上找到既完备有是疏朗的集合？,第6讲直线上的点集,Cantor集的构造:将0，1均分为三段，删去中间的开区间，将剩下的两个区间再次三等分，删去中间的两个区间即。如此继续下去，最终剩下的点集记作G，称之为Cantor集，则G是一个完备集。,问题4：你认为Cantor集的势是多少？*定理10。证明：回忆一下前面的进位表示法以及Cantor集的构造立刻看到，这里用三进制小数表示(0,1)中的点，将会更方便于讨论。我们先来看看，去掉的三等分区间中的点用三进制表示的话，有什么规律。显然，第一次删去的区间,第6讲直线上的点集,内的点对应的三进制数第一位必然是1，进一步观察不难发现，只要点在某个删去的区间内，则的三进制表示中，必有某一位是1。反之，如果不是分点，且在某位出现1，则在经过若干次删除手续后，必然在删去的区间内，即。因此，除了分点外，在中当且仅当其三进制表示中不出现数1。注意挖去的区间是可数的，故分点集也可数，因此,第6讲直线上的点集,因此。如果在2定理9中令，则立得。于是。证毕。,第6讲直线上的点集,第6讲直线上的点集,二直线上开集、闭集的构造问题5：除开区间外，你还能找出直线上多少开集？,第6讲直线上的点集,问题6：开集中每一点都是内点，因此直线上任一开集中的每一点都有一个开邻域包含在该开集中，这样的开邻域有多少？其中有没有最大的一个？如何找出这个最大的开邻域？,第6讲直线上的点集,*定理11中任何非空的有界开集都是有限个或可数个互不相交的开区间的并。,第6讲直线上的点集,定理11的证明：设是有界开集，则存在，使得。对任意，由是开的，知存在开区间，使。不难看到，包含的中开区间有无穷多个，记，,往证：(i)，且。(ii)对任意，或者，或者。对任意，记由的定义知存在，使，,第6讲直线上的点集,且。于是。即，故。如果，则存在，使，显然，这与的定义矛盾。因此。同理可证。,第6讲直线上的点集,(i)证完。再证（ii），对任意，若，则或者中至少有一个在中；从而也在中，无论何种情形均与（i）矛盾。故（ii）也成立。,第6讲直线上的点集,以上论证说明，可以表示为一些互不相交的开区间之并。而这些区间的全体必定是至多可数的，这只要从每个区间中取出一个有理数，从而不同区间对应不同的有理数便可得到证明。证毕。,第6讲直线上的点集,第6讲直线上的点集,问题7：根据开集与闭集的互余关系，如何构造直线上的闭集？,第6讲直线上的点集,定理13设是非空的有界闭集，则是由一闭区间中去掉有限个或可数个互不相交的开区间而成。,第6讲直线上的点集,定理13的证明：设，则由定理12知，于是，且。由定理6的推论1知是开集，由定理11，存在有限个或可数个互不相交的开区间，使，从而。证毕。,第6讲直线上的点集,问题8：直线上什么样的闭集是完备的？所有的完备集都是这样的吗？,第6讲直线上的点集,定理12假设是中的有界闭集，则；换言之，中既有最大数，也有最小数。定理14假设是非空有界闭集，则是完备集当且仅当是从一闭区间a,b中去掉有限个或可数个彼此没有公共端点且与a,b也无公共端点的开区间而成。,第6讲直线上的点集,定理14的证明：若是完备集；则显然挖去的开区间彼此无公共端点，否则这个