复变函数论 2

复变函数论,数学系,第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的幂级数表示法第五章解析函数的罗朗展式第六章残数理论及其应用第七章保形变换第八章解析开拓第九章调和函数,第一章复数与复变函数,全体复数并引进运算后就称为复数域.,2.复平面一个复数z=x+iy本质上是由一对有序实数(x,y)唯一确定的.于是能够建立平面上所有的点和全体复数间一一对应的关系.由于x轴上的点对应着实数,故x轴称为实轴;y轴上的非原点的点对应着纯虚数,故y轴称为虚轴.这样表示的平面称为复平面或z平面.,2复平面上的点集1.平面点集的几个基本概念定义1.1由不等式|z-z0|0,使|f(z)|0,有0,使对E上满足|z1-z2|,的任意两点z1,z2均有|f(z1)-f(z2)|0,arg=y;在z平面上0.(3)在z平面上解析,且()=.(4)加法定理成立,即.(5)为基本周期的周期函数(注(1).因对任一整数这里,(3)sinz是奇函数,cosz是偶函数,并遵从通常的三角恒等式:等等.例如,(4)及是以2为周期的周期函数.因由定义2.5,同理可证另一个.,(5)sinz的零点(即sinz=0的根)为的零点为,定义2.6规定分别称为z的正切,余切,正割,余割函数.这四个函数都在z平面上使分母不为零的点处解析,且正切和余切的周期为,正割和余割的周期为2.例如,就tgz来说,它在的各点处解析,且有因为,定义2.11称为z的一般幂函数.,定义2.12称为一般指数函数.,复变函数积分的计算问题设有光滑曲线C:z=z(t)=x(t)+iy(t)(t),这就表示z(t)在,上连续且有不为零的导数z(t)=x(t)+iy(t).又设f(z)沿C连续.今fz(t)=ux(t),y(t)+ivx(t),y(t)=u(t)+iv(t),由公式(3.1)我们有,(3.2),(3.3),定理3.5设f(z)在z平面上的单连通区域D内解析,则f(z)在D内激发呢与路径无关.即对D内任意两点z0与z1,积分之值,不依赖于D内连接起点z0与终点z1的曲线.,证设c1与c2是D内连接起点z0与连接终点z1的任意两条曲线(如图3.4).则正方向曲线c1与负方向曲线c2就衔接成D内一条闭曲线C.于是,由定理3.4与复积分基本性质(3)有因而,证我们只要对D内任一点z证明F(z)=f(z)就行了.以z为心作一个含于D内的小圆,在小圆内取动点z+z,考虑(z0),在|z|充分小时不超过任给的正数.设沿C,.d表示z与C上点间的最短距离,于是,当时,(参看定理3.3注),定理3.14设f(z)在z平面上的区域D内解析,则在D内具有各阶导数,并且它们也在区域D内解析.,证设z0为D内任一点,将定理3.13应用于以z0为心的充分小的圆内(只要这个必圆全含于D内),即知f(z)它在此圆内有个阶导数.特别来说,f(z)在点z0有各阶导数.由于z0的任意性,所以f(z)在D内有各阶导数.这样,由函数在D内解析(注意:仅只假设其导数在D内存在!),就推出了其各阶导数在D内存在且连续:而数学分析中区间上的解析函数,在此区间上不一定有二阶导数,更谈不上有高阶导数了.借助解析函数的无穷可微性,我们现在来判断函数f(z),在区域D内解析的一个充分条件-定理2.5,补充证明成刻划解析函数的第二个等价定理:定理3.15函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是(1)ux,uy,vx,vy,在D内连续;(2)u(x,y),v(x,y)在D内满足C.-R.条件.证充分性即定理2.5.必要性条件(2)的必要性以由定理2.1得出.现在,由于解析函数f(z)的无穷可微性,f(z)必在D内连续,因而ux,uy,vx,vy必在D内连续.,推论4.1若幂级数(4.3)在某点z2(a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z1的圆周外部发散.,对于一个形如(4.3)的幂级数,z=a这一点总是收敛的.za时,有以下三种情况:(1)任意的za,级数均发散.(2)任意的z级数均收敛.(3)存在一点za,使收敛(此时,根据定理4.10的第一部分知,它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝对收敛),另外又存在一点z2,使,在其收敛圆K:|z-a|R(0R+)内闭一致收敛于f(z),而且各项又都在z平面上解析.故由维尔斯特拉斯定理(定理4.9),本定理的(1)、(2)部分得证,逐项求p阶导数(p=1,2,)后,即得(4.6).在(4.6)中令z=a,得注意到即得(4.7).,由定理3.13知,K:|z-a|R+p内是解析的.于是F(z)在K内可展开为泰勒级数5.但因在|z-a|0).在L上依次取一串点a=a0,a1,an-1,an=b,使相邻两点间的距离小于定数R(0Rd).显然,由推论4.19,在圆K0:|z-a0|R内.在圆K1:|z-a1|R又重复推论4.19,即知在K1内.这样继续下去,直到最后一个含有点b为止,在该圆内,特别说来,f(b)=0.因为b是D内任意的点,故证明了D内.,事实上,如果对于某一个值有那么根据|f(z)|的连续性,不等式在某个充分小的区间成立.同时,在这个区间之外,总是在这样的情况下,由(4.15)得矛盾.因此,我们已经证明了:在以点z0为中心的每一个充分小的圆上|f(z)|=M.换句话说,在z0点,证设z为H内任意取定的点,总可以找到含于H内的两个圆周,使得z含在圆环内(图5.1).,于是系数可统一表成(5.5).,孤立性奇点的三种类型,定义5.3设a为f(z)的孤立奇点.(1)如果f(z)在点a的主要部分为零,则称a为f(z)的孤立奇点.(2)如果f(z)在点a的主要部分为有限多项,证只要证明(1)推出(2);(2)推出(3);(3)推出(1)就行了.(1)推出(2);由(1)知,于是,(2)推出(3):即例1.27.(3)推出(1):设f(z)是点a的某去心邻域K-a,内以M为界.考虑f(z)在点a的主要部分,席瓦尔兹(Schwarz)引理如果函数f(z)在单位圆|z|1内解析,并且满足条件f(0)=0,|f(z)|1(|z|1),则在单位圆|z|0.,证由第五章习题(二)14,可知f(z)在C内部至多只有有限个零点和极点.设ak(k=1,2,p)为f(z)在C内部的不同零点,其级数相应地为nj;bj(j=1,2,q)为f(z)在C内的不同极点,其级数相,定理6.11如函数f(z)在D内单叶解析,则在D内f(z)0.证若有D的点z0使f(z0)0,则z0必为f(z)-f(z0)的一个n级零点(n2).由零点的孤立性,故存在,使在圆周上f(z)-f(z0)0,在C的内部,f(z)-f(z0)及f(z)无异于z0的零点.命m表|f(z)-f(z0)|在C上的下确界,则由儒歇定理即知,当0|-a|m时,f(z)-f(z0)-a在圆周C的内部亦恰有n个零点.但这些零点无一为多重点,理由是f(z)在C内部除z0外无其他零点,而z0显然非f(z)-f(z0)-a的零点.故命z1,z2,zn表f(z)-f(z0)-a在C内部的n个相异的零点.于是f(zk)=f(z0)+a(k=1,2,n).这与f(z)单叶性假设矛盾.故在区域D内f(z)0.,无穷小距离之比的极限是R=|f(z0)|,它仅与z0有关,而与过z0的曲线C之方向无关,称为变换w=f(z)在点z0的伸缩率.这也就是导数模的几何意义.上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关这个性质,称为伸缩率不变性.从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示w=f(z)将z=z0处无穷小的圆5变成w=w0处的无穷小的圆,其半径之比为|f(z)|.上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.,定理7.4如w=f(z)在区域D内解析,则它在导数不为零的点处是保角的.推论7.5如w=f(z)在区域D内单叶解析,则称w=f(z)在区域D内是保角的.(由定理6.11,在D内f(z)0.)定义7.2如果w=f(z)在区域D内是单叶且保角的,则称此变换w=f(z)在D内是保形的,也称它为D内的保形变换.定理7.6设w=f(z)在区域D内单叶解析.则(1)w=f(z)将D保形变换成区域G=f(D).(2)反函数在区域G内单叶解析,且,由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点w0=u0+iv0及其一个邻域内为连续.即在邻域中,当ww0时,必有故即由于w0或z0的任意性,即知在区域G内解析.,定理7.9设线性变换将扩充z平面上三个相异点z1,z2,z3指定为w1,w2,w3,则此线性比就被唯一确定,并且可以写成(7.10)(即三对对应点唯一确定一个线性变换).,定理7.10线性变换将平面上的圆周(直线)变成圆周或直线.注:在扩充平面上,直线可视为经过无穷远点的圆周.事实上(7.11)可改写为欲其经过,必须且只须A=0.因此可以说:在线,定理7.13(黎曼存在与唯一性定理)扩充z平面上的单连通区域D,其边界点不止一点,则有一个在D内的单叶解析函数w=f(z),它将D保形变换成单位圆|w|0(aD)(7.19)时,这种函数f(z)就只有一个.注(1)唯一性条件(7.19)的几何意义是:指定aD变成单位圆的圆心,而在点a的旋转角它依赖于三个实参数.(2)在将单连通区域D变成单连通区域G的一般情形,唯一条件可表成f(z)=b,其中aD,bG,而a为实参数.,则(1)w=f(z)在D内单叶;(2)G=f(D)(从而w=f(z)将D保形变换成G).,证证明的关键,在应用辅角原理来证明集合等式G=f(D).(1)设w0为G内任一点.我们证明w0f(D),而且方程f(z)-w0=0在C内部只有一个根.根据辅角原理(在z沿C的正方向绕行一周的假定下).有假设条件(2),这时w=f(z)应沿T的正向或负向绕行一周.因此,起点在w0终点在T上的向量w-w0应该转角.于是,负号显示应该除去(因为N0).因此我们肯定w=f(z)必须沿T的正向(T的内部在此方向的左边)饶行,并且方程f(z)-w0=0在区域D内只有一个根.(2)设w0位于T的外部,则必.因为即方程f(z)-w0=0在D内无根.(3)设w1为T上任意一点,我们来证明方程f(z)=w1在D内无根.假定D内有一点z1使f(z1)=w1,则可得一个以w1为中心的圆周,使对内部任意一点w,方程f(z)=w在D内部取一点w位于,T的外部,由(2)段证明,方程f(z)=w在D内无根,发生矛盾.由以上结果,可见函数w=f(z)在D内单叶,并将D保形变换为T的内部G.,第八章解析开拓,定义8.1设函数f(z)在区域D内解析,考虑一个包含区域D的更大区域G,如果存在函数F(z)在G内解析,并且在D内F(z)=f(z),则称函数f(z)可以解析开拓到G内,并称F(z)为f(z)在区域G内的解析开拓.,紧接的区域-指两个具有公共部分的区域,这个公共部分也是一个区域.,定义8.2设D是一个区域,f(z)是D内的单值解析函数,这种区域和解析函数的组合称为一个解析元素,记成:D,f(z);两个解析元素当且仅,定义8.4给定解析元素集D1,f1(z),D2,f2(z),Dn,fn(z),如果每一个解析元素是前一个解析元素的直接解析开拓,则称这些解析元素组成解析开拓链.链把开始元素D1,f1(z)与最后元素Dn,fn(z)连接起来.显然方向相反的同的链把解析元素Dn,fn(z)与D1,f1(z)连接起来.这两个解析元素称为互为(间接)解析开拓.,定理8.2藩勒卫(Painleve)连续开拓原理:设D1,f1(z)及D2,f2(z)为解析元素,合于(1)区域D1与D2不相交,但有一段公共边界,除掉其端点后的开弧记为;(2)f1(z)在D1+上连续,f2(z)在区域D2+上连,则存在一个函数w=F(z)满足下列条件:(1)w=F(z)在区域D+S+D*内单叶解析,并将区域D+S+D*保形变换成G+T+G*;(2)在D内F(z)=f(z);(3)在D*内.(即,是D,f(z)透过弧S的直接解析开拓).,证接着定理8.3的证明,再补充证明F(z)在D+S+D*内单叶,并将D+S+D*保形变换成G+T+G*.根据F(z)=f(z)(zD*),F(z)在D内单叶解析,并将D保形变换成G;根据F(z)=f(z)(zS),F(z)建立起S上的点与T上的点一一对应;根据(zD*),F(z)在D*内单叶解析,并将D*保形变换成G*.总起来,F(z)在D+S+D*内单叶解析,并将D+S+D*保形变换成G+T+G*.,定理8.5(对称原理的一般形式)设(图8.8)(1)d及d*是z平面上关于圆弧或直线S对称的两个区域,它们分居于S的两侧,且它们的边界都包含S.(2)g及g*为w平面上关于圆弧或直线t对称的两个区域,它们分居与t的两侧,且它们的边界都包含t.(3)w=f1(z)在d内单叶解析,在d+S上连续,并将d保形变换成g,把S一一地变换成t=f1(S),则存在一个函数w=F(z)满足下列条件:(1)w=F(z)在区域d+S+d*内单叶解析,并将d+S+d*保形变换成g+t+g*.,(2)在d内F(z)=f1(z).(3)在d*内F(z)=f2(z).,(d*,f2(z)是d,f1(z)透过弧S的直接解析开拓.),定义8.6一个一般解