一阶微分方程课件 (3)

一、可分离变量微分方程,第二节一阶微分方程,可分离变量方程：,分离变量方程的解法:,设y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,的隐函数y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x)=f(x)0,时,由确定的隐函数x(y)也是的解.,设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),说明由确定,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,例3,解分离变量,即,(C0),积分,例4.,子的含量M成正比,求在,衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.,解:根据题意,有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知t=0时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,思考与练习,求下列方程的通解:,方程变形为,习题10-21（3）,习题10-21（5）,习题10-21（6）,总习题十（432页）2（1）,求下面微分方程的通解,求下面微分方程的特解,代入初始条件，,二、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,齐次函数,如果存在常数k,对于任何实数t,均有,则称是关于x,y的k次齐次函数，特别k=0时，,称为零次齐次函数,前面命名齐次方程，名称是由右端函数,满足,其它齐次方程,是二次齐次方程,不是齐次方程,是一次齐次方程,是关于未知函数y，未知函数的导数的齐次方程,不是齐次方程,齐次方程,的解法,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),例2.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,(C为任意常数),求解过程中丢失了.,三、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,称为齐次方程;,一阶线性微分方程:,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,常数变易法的由来,例1.解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.,则,代入非齐次方程，,令,解得,故原方程通解为,例1.解方程,例2.解方程,解:先解,用常数变易法求特解.,即,积分得,即,则,代入非齐次方程，,令,例2.解方程,解得,故原方程通解为,当然本题可以用公式法，这里略。,一阶线性微分方程:,例3.解方程,解把方程变形为:,为一阶线性方程,对应的齐次方程的通解为,变易常数，令,则，,代入原方程，,故方程通解为,教材381页例6是同类型的题，请同学们自已看。,伯努利(Bernoulli)方程简介,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),伯努利,内容小结,1.一阶线性方程,方法1先解齐次方程,再用常数变易法.