微分方程的数值解法 1VIP

4微分方程的数值解法,实例某管式反应器内进行的是一级不可逆反应，用轴向扩散模型表示的数学模型为,边界条件为,若。试求反应物A沿反应管长度的浓度分布和出口转化率。,4微分方程的数值解法,实例物质A在容器中进行一级分解反应，同时存在一级副反应，容器体积一定，A初始浓度为CA0，B的初始浓度为0，则各组分浓度随时间变化的数学模型为：,初始条件为,4微分方程的数值解法,实例多相催化反应器中进行某反应，组分浓度和温度随反应器轴向位置和径向位置的变化可由如下数学模型来描述：,初始及边界条件为,4微分方程的数值解法,实例,在生产和科研中常需建立许多微分方程，能用解析法求解的只限于一些特殊类型的方程，即便如此，也常因其形式太复杂而很少采用。因此，常借助于数值方法在计算机上求其数值解。,本章学习要求,1.掌握常微分方程初值问题求解的欧拉方法、改进的欧拉方法、龙格-库塔方法；2.理解常微分方程边值问题求解的有限差分方法。,4微分方程的数值解法,基本概念,微分方程描述未知函数的导数与自变量之间关系的方程。常微分方程微分方程中的未知函数是单一自变量的函数。偏微分方程微分方程中的未知函数是多个自变量的函数。微分方程组因变量超过一个时，方程个数与因变量数相等的几个微分方程构成微分方程组。微分方程的阶微分方程中出现导数的最高阶数。,4微分方程的数值解法,基本概念,4微分方程的数值解法,微分方程的初值问题：求解微分方程时，必须有一些已知条件。若所给的已知条件为某特定点上各阶因变量的值，此类问题为初值问题。,基本概念,4微分方程的数值解法,微分方程的边值问题：若所给的已知条件为两个不同的自变量值所对应的因变量值，即用自变量的区间的两个端点的函数值或导数值作为已知条件，此类问题为边值问题。,求解思路,4微分方程的数值解法,微分方程数值求解的基本思路是在离散点上用差商近似地代替导数。首先将微分方程中离散点上的导数用差商代替，将微分方程化为代数方程，称为差分方程。也就是说用处未知量的近似值代替微分方程中的未知函数，用代数方程组代替微分方程，然后求解代数方程组得到各离散点上的。初值问题数值求解的基本方法是递推。边值问题数值求解的基本方法是迭代。,4.1常微分方程初值问题的数值解,4微分方程的数值解法,4.1.1欧拉法（折线法）,实际中很少应用，但广泛地作为讨论其他方法的基础。,对于常微分方程,用过点的切线来近似函数，得到点上的值来近似函数值，则,即用差商代替导数,4.1常微分方程初值问题的数值解,4微分方程的数值解,4.1.1欧拉法（折线法）,同理：,欧拉格式：,运用欧拉格式，从初始值出发，沿着离散节点排列的顺序向前推进，可逐步求得离散点上的近似数值解。这样就将求解微分方程转化为求解代数方程组。,4.1常微分方程初值问题的数值解,4微分方程的数值解,4.1.1欧拉法（折线法）,用每一步起点的切线代替原方程的积分曲线。随着计算的进行，误差不断积累。,显式格式,4.1常微分方程初值问题的数值解,4微分方程的数值解,4.1.2改进欧拉法,将欧拉法中的切线斜率取为前后两点斜率的平均值，即，即采用区间两端的函数值和的平均值作为直线方程的斜率。,方程为隐式方程，采用迭代法求解，由欧拉法给出迭代初值。预报-校正公式,4.1常微分方程初值问题的数值解,4微分方程的数值解,4.1.2改进欧拉法,例题4-1,用改进欧拉法解下列初值问题。步长，求到间各节点上的数值解。,练习,用改进欧拉法求解常微分方程式，初值条件，选步长。求出时对应的值。,4.1常微分方程初值问题的数值解,4微分方程的数值解,4.1.3龙格-库塔法,实际计算中常采用的一种方法，截断误差较小。,令,则欧拉公式和改进的欧拉公式可分别写为,增加计算f(x,y)值的次数可以提高截断误差的阶。计算四次f(x,y)值，再进行加权平均得到龙格-库塔法。,4.1常微分方程初值问题的数值解,4微分方程的数值解,4.1.3龙格-库塔法,龙格-库塔公式：,四阶龙格-库塔公式：（常用）,4.1常微分方程初值问题的数值解,4微分方程的数值解,4.1.3龙格-库塔法,例题4-2,采用四阶龙格-库塔方法求解例题4-1。,练习,采用四阶龙格-库塔方法求，。,一个自变量，m个因变量组成的一个常微分方程组,初始条件：,4.1常微分方程初值问题的数值解,4微分方程的数值解,4.1.4常微分方程组初值问题的数值解,求解常微分方程组的四阶龙格-库塔公式：,4.1常微分方程初值问题的数值解,4微分方程的数值解,4.1.4常微分方程组初值问题的数值解,式中yj,i为第j个变量yj(x)在节点xi处的近似解；n为因变量和方程的个数。,4.2常微分方程边值问题的数值解二阶常微分方程的有限差分法,4微分方程的数值解法,二阶常微分方程的边值问题：,将a到b整个范围内分成n个等距区间，令，则第i个区间的终点为，在该点的y值可表示为。,求解思路：区间离散、方程离散求解代数方程组,区间离散：,4.2常微分方程边值问题的数值解,4微分方程的数值解法,将各函数、和在各节点的值表示为、和。原方程中各导数用差商代替有,方程离散：,即,4.2常微分方程边值问题的数值解,4微分方程的数值解法,方程离散：,将各表达式代回原方程得到,整理得,上面由n个式子组成n个代数方程，由此组成一个代数方程组，求解得到原常微分方程边值问题的数值解。,4.2常微分方程边值问题的数值解,4微分方程的数值解法,离散后得到的代数方程组：,几种边界条件的形式：,4.2常微分方程边值问题的数值解,4微分方程的数值解法,例题4-3,求解下列微分方程,边界条件为，计算的区间分割数。,练习,采用有限差分法求解下列常微分方程式。,4.2常微分方程边值问题的数值解,4微分方程的数值解法,例题4-3取分割数N=10，步长为h=0.1。对方程进行离散后得到如下差分方程：,4.2常微分方程边值问题的数值解,4微分方程的数值解法,例题4-3编写程序如下：,clc;cleary0=0;yN=1;a=0;b=1;N=10;h=(b-a)/N;A1=ones(1,9)*(-(2+3*h2);A2=ones(1,8);A=diag(A1)+diag(A2,1)