高等数学上册ppt课件

高等数学电子教案中国石油大学（华东）理学院基础数学系金贵荣,1,前言,2,高等数学的基本内容和方法,3,4,几点要求,5,6,7,第一章函数与极限1.1函数的概念及其初等性质1.2数列极限1.3函数极限1.4无穷小与无穷大1.5函数连续性1.6闭区间上连续函数的性质,8,1.1函数的概念及其初等性质,1.1.1预备知识,1.一些常用的符号,9,2.实数集,10,有理数集的稠密性：,任意两个不同的有理数之间都有无穷多个有理数,（无理数集、实数集）,（无理数、实数）,（无理数、实数）。,实数集的连续性：,实数集与数轴上点的集合之间建立一一对应关系。,或完备的。,11,3.常用不等式:,绝对值:,12,三角不等式,(平均值不等式),(调和平均值),(几何平均值),(算术平均值),（证明略）,更一般地，,13,4.邻域:,14,1.1.2函数的概念,一.函数的定义,定义,函数传统的习惯符号：,15,注意：,一个函数也可以在其定义域的不同部分分别用不同的解析式子表示，则称之为分段定义的函数，简称分段函数.,16,有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则，并用约定的符号予以表示:,称为取整函数,例如：5.3=-4.9=,（求极限时有用）,阶梯曲线,17,称为非负小数部分函数,18,例3符号函数,19,20,三.函数的初等性质,1函数的有界性,定理,21,证,22,2函数的单调性,(),（减）,23,24,3函数的奇偶性,证,偶函数,奇函数,25,4函数的周期性,定义,26,27,28,29,1.1.3复合函数和反函数,1.复合函数,定义,30,注意:,31,2.反函数,定义,32,33,注意：,求反函数的方法：,34,解,35,定理,证明略,36,注意：,37,1.1.4初等函数,基本初等函数（6类）：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.,1.常值函数,2.幂函数,3.指数函数,4.对数函数,38,5.三角函数,6.反三角函数,39,都是初等函数,40,解,41,解,42,1.2数列极限,一.数列极限的定义,数列是整标函数:,注意：,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,43,44,问题:,意味着什么?如何用数学语言定量地刻划它.,45,46,定义1,定义2,47,48,注意:,用定义”验证数列极限，关键是如何由任意给定的寻找N？,49,例1,证,50,例2,证,51,注:,52,例3,证,53,证,54,综合之，故,55,二.收敛数列的性质和运算,定理1（唯一性）,证,由定义,证毕,56,定理2（有界性）,证,由定义,证毕,57,子数列的概念,定义,左向右任意选取无穷多项，并按它们在原数,列中的次序排成一个新的数列，表为：,简称子列.,58,59,定理3,证,证毕,推论1,60,推论2,证,证毕,61,定理4（四则运算）,注意:,四则运算只对有限个收敛数列而言，否则不能用.,62,无穷多个收敛数列,这是错误的.,63,例5求下列极限,解,64,65,三.数列收敛的判别,定理5（迫敛性或两边夹定理）,证,证毕,66,例6,解,由两边夹定理，,练习册习题7,67,例7,解,由两边夹定理，,68,单调数列,69,定理6（单调有界原理）,（证明略）,上界,下界,例8,证,70,71,例9,证,72,计算可得：,73,1.3函数的极限,一.函数在有限点处的极限,74,一般地有,75,定义1,76,几何解释:,77,单侧极限:,例如,78,左极限,右极限,79,定理,左右极限存在但不相等,例1,证,80,例2,解,左右极限存在且相等,81,用定义”验证函数极限:,关键是如何由寻找？,82,证,83,证,84,证,85,问题:,如何用数学语言刻划两个“无限趋近”.,二.函数在无穷远处的极限,86,定义2,87,定理,1,88,几何解释:,89,用定义”验证函数极限:,关键是如何由寻找？,具体方法：,90,证,91,证,92,证,93,三.函数极限的性质和运算,性质1（唯一性）,性质2（局部有界性）,证,证毕,94,性质3（局部保号性）,证,证毕,95,性质4（四则运算）,（证明略）,注：四则运算对有限个存在极限的函数而言.,96,性质5（极限不等式）,证,注意:,97,性质6（迫敛性或两边夹定理）,性质7（海涅(Heine,1821-1881,德)定理）,（证明略）,注：海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系.,（证明略）,98,推论:(判断不存在的方法),99,证,100,性质8（极限的变量代换）,（证明略）,101,102,103,104,四.两个重要极限,(1),105,证,(,证毕,106,(2),107,证,证毕,108,109,110,111,112,113,1.4无穷小与无穷大,定义1,一.无穷小及其性质,114,定理1（一般极限与无穷小的关系）,定理2,115,解,116,解,117,二.无穷小阶的比较,极限不同,反映了趋向于0的“快慢”程度不同.,观察各极限,118,定义2,119,120,121,122,123,124,定理3,证,证毕,125,定理4,(乘积因子等价无穷小代换定理),证,证毕,126,127,注意：,只能对函数的乘积因子作等价无穷小代,换.对于代数和中各无穷小不能作等价,无穷小代换.,否则，因丢失高阶无穷小，,而导致错误的结果.,错误结果！,128,导致错误的结果.,129,三.无穷大及其性质,定义3,130,131,性质（无穷大与无穷小的关系）,注意:,（证明略）,132,133,134,定义4,135,1.5连续函数,一.函数的连续,136,定义1,（增量式定义）,137,例1,证,138,定义2,定理,139,例2讨论下列函数在指定点的连续性：,右不连续,左连续,解,140,(函数在区间的连续性),连续函数的图形是一条连续不断的曲线.,定义3,141,例3,证,142,例4,证,143,144,二.间断点及其分类,145,第一类间断点,特点:,146,第二类间断点,147,148,例5,解,149,解,150,解,151,解,152,解,153,三.连续函数的运算,(四则运算),定理1,（证明从略）,在其定义域区间上都连续.,154,在其定义域区间上都连续.,(反函数的连续性),定理2,（证明略）,在其定义域区间上都连续.,155,在其定义域区间上都连续.,156,(复合函数的连续性),定理3,极限符号可以进入到连续函数的函数符号,内，它对求复合函数的极限是很有用的.,（证明略）,157,一般结论：,158,四.初等函数的连续性,注意：,1.初等函数仅在其定义域区间上连续,例如：,函数在这些孤立点的空心邻域内没有定义，,因此在这些孤立点无法讨论其连续性.,在其定义域内不一定连续.,159,又如：,函数在0点的空心邻域内没有定义，因此在,0点无法讨论其连续性；,160,例6,161,162,163,例7,解,164,(i),165,(ii),166,1.6闭区间上连续函数的性质,性质1（有界性）,注意:若区间是开区间,或闭区间内有间断点,则结论不一定成立.,（证明略）,167,168,