常微分方程数值解法5.8

1,数值计算方法,第七章常微分方程数值解法,2,在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。,3,7.0基本概念1.一阶常微分方程的初值问题(7.0-1)注：若f在D=axb,|y|+内连续，且满足Lip条件：L0，使|f(x，y1)f(x，y2)|L|y1y2|(7.0-2)则(7.0-1)的连续可微解y(x)在a，b上唯一存在。,4,2.初值问题的数值解称(7.0-1)的解y(x)在节点xi处的近似值yiy(xi)ax1x2.时，说明步长h/2仍然偏大，须将步长减半，继续计算；当/2p时，说明已有，步长h/2偏小，应取步长h。,31,例2(P481)用变步长的标准4阶R-K方法求初值问题：的数值解，要求精度为,ex96.m,32,7.3线性多步法希望避免求多个点上f(x，y)的值，并且充分利用前面几步的结果。一般形式：yi+1=a0yi+a1yi-1+apyi-p+h(b-1yi+1+b0yi+bpyi-p)(7.3-1)其中yk=f(xk，yk)，(k=ip，ip+1，i，i+1)而ak，bk为待定常数。注：(1)若b1=0时，(7.3-1)为显式公式，否则为隐式公式。(2)推导方法主要有：数值积分法和Taylor展开法。,33,7.3.1数值积分法取节点：xi，xi-1，xi-2，xi-3，作f的三次L-插值多项式有记：fk=f(xk，yk)(k=i，i1，i2，i3)xi-k=xikh，x=xi+th.代入上式有：,34,有(7.3-2)其中fk=f(xk，yk)(k=i，i1，i2，i3)，称(7.3-2)为4阶Adams显式公式。其局部截断误差(7.3-3),35,若取节点：xi+1，xi，xi-1，xi-2，作f的3次L-插值多项式，可得4阶Adams隐式公式：(7.3-4)其局部截断误差：(7.3-5)注：隐式公式的显化:(预测校正)(7.3-6),36,例用4阶Adams显式和隐式公式构成的简单预估-校正公式求初值问题：的数值解，取h=0.1。并用标准4阶Runge-Kutta公式求出此初值问题在x1=0.1，x2=0.2，x3=0.3处的数值解，解：计算结果见p487。注：并非所有线性多步法公式(7.3-1)都可用数值积分法得到，但都可用Taylor展开法得到。,37,7.3.2Taylor展开法设yi-k=y(xikh)，yi-k=y(xikh)展开为：代入(7.3-1),38,代入(7.3-1)得：(7.3-7),为使(7.3-1)有m阶精度:y(xi+1)yi+1=O(hp+1),39,只须(7.3-7)的前m+1项与y(xi+1)的展式：对应相等，即有方程组:(7.3-8)此时有(7.3-9),40,在(7.3-8)中特别取p=3，m=4有：令a0=a1=a2=b-1=0，可得a3=1，b0=8/3，b1=-4/3，b2=8/3，b3=0.,41,可得a3=1，b0=8/3，b1=-4/3，b2=8/3，b3=0.代入(7.3-1)得米尔尼(Milne)公式：(7.3-10)即此时(7.3-11)为4阶精度。,42,令a1=a3=b2=b3=0，得汉明(Hamming)公式：(7.3-12)其中：(7.3-13)注：与单步法相比，多步法不须反复计算f在(xi，xi+1)上某些点处的值，工作量大大减少。多步法的前几步须用同阶单步法求之。,43,Milne显：Hamming隐：显化得Milne-Hamming公式：(7.3-14),44,例1用4阶Adams显式公式求初值问题：的数值解，取h=0.05。解：先用标准4阶Runge-Kutta公式求出此初值问题在x1=0.05，x2=0.1，x3=0.15处的数值解，然后用公式(7.3-2)求其余节点的数值解（p487）,45,7.4预估校正系统直接预估校正格式：先用显式公式算出预估值，再用同阶隐式公式进行校正，没有充分利用局部截断误差的信息。利用误差补偿的办法，对预估值和校正值进行修正，可以使计算结果的精度更高一些。以4阶Adams为例：显式：局部截断误差(7.3-3)隐式：局部截断误差(7.3-5),46,设pi+1，ci+1分别表示xi+1处数值解的预估值和校正值，则(7.4-1)(7.4-2)两式相减：(7.4-3)代入(7.4-1)得(7.4-4)即以作y(xi+1)的预估值，精度提高一阶。,47,同理，将(7.4-3)代入(7.4-2)得（7.4-5）即以作为y(xi+1)的校正值，其精度可提高一阶。,48,注：在(7.4-4)中，由于预估值ci+1还未算出，所以用前一步的ci，pi对pi+1进行修正，由此得：预估修正校正修正(7.4-6),49,同理，对Milne公式（显）和Hamming公式（隐）可得带有误差补偿的预估校正系统公式：(7.4-7)注：在(7.4-6)和(7.4-7)中显然无c3，p3，可取p3=c3=0.,50,例1：取步长h=0.1，用带误差补偿的预估校正公式(7.4-6)求解解：所需y1，y2，y3用标准4阶R-K公式计算，然后按(7.4-6)计算y4，y5.P492,51,7.5边值问题的差分法基本思想：运用数值微分将导数用离散点上函数值表示，从而将边值问题的微分方程和边界条件转化为只含有限个未知数的差分方程组，并将此差分方程组的解作为该边值问题的数值解。1.二阶常微分方程的第一边值问题(7.5-1)其中q(x)(0)，f(x)在a，b)上连续，为常数。,52,设等距节点：xi=a+ih，i=0，1，2，n，对其中内节点应用三点微分公式：(6.6-9)i=1，2，n-1(当h充分小时，略去O(h2)，并以yi-1，yi，yi+1，代y(xi-1)，y(xi)，y(xi+1)，得计算yi的差分方程组)i=1，2，n1(7.5-3),53,加上边界条件即得边值问题(7.5-1)的差分方程组其中qi=q(xi)，fi=f(xi).矩阵形式：(7.5-5),54,注：可以证明(7.5-5)存在