复变函数论-第五章-解析函数的洛朗展式与孤立奇点

第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点,1解析函数的洛朗展式2解析函数的孤立奇点3解析函数在无穷远点的性质4整函数与亚纯函数的概念及许瓦兹引理,定义级数称洛朗级数,称为的系数.对于点,如果级数收敛于,且级数,1解析函数的洛朗展式,收敛于,则称级数在点收敛,其和函数为当时,即变为幂级数.类似于幂级数,我们有定理设在圆环内解析,则在内其中,且,系数被及唯一确定.称为的洛朗展式.,证明：对作,(其中)且使,由柯西积分公式,有对于第一个积分,只要照抄泰勒定理证明中的相应部分,即得：其中图5.1,对于第二个积分当时(右边级数对于是一致收敛)上式两边乘上得：,右边级数对仍一致收敛,沿逐项积分,可得其中于是：,其中下面证明展式唯一,若在H内另有展开式,右边级数在上一致收敛,两边乘上得：右边级数在上仍一致收敛,沿逐项积分,可得：即展式是唯一的.注：1)定理中的展式称为洛朗展开式,级数称为洛朗级数.称为洛朗系数.,2)泰勒展式是洛朗展式的特例.例1求在中的洛朗展开式.解：,此例子说明：同一个函数在不同的圆环内的洛朗展式可能不同.例2求及在内的洛朗展式解,例3求在内的洛朗展式解作业：第217页1(1)(3),2(1)(3),一.定义：1设在点的某去心邻域内解析,但在点不解析,则称为的孤立奇点.例如以为孤立奇点.以为奇点,但不是孤立奇点,是支点.以为奇点(又由,得故不是孤立奇点)2设为的孤立奇点,则在的某去心邻域内,有称为在点的主要部分,2解析函数的孤立奇点,称为在点的正则部分,当主要部分为0时,称为的可去奇点；当主要部分为有限项时,设为称为的m级极点；当主要部分为无限项时,称为本性奇点.二判定1可去奇点定理5.3设为的孤立奇点,则下列条件等价(1)为的可去奇点,(2)(3)在的某去心邻域内有界.证明：设条件(1)成立,则在的某一去心邻域内,有显然成立.设在的去心邻域内以M为界考虑在点的主要部分：,为可去奇点.例：说明是的可去奇点法一：法二：2.极点定理设为的孤立奇点则下列条件等价：(1)为的m级极点(2)在的某去心邻域：内可表示为其中在内解析,且.,(3)从为m级零点(可去奇点作为解析点看)证明：设条件(1)成立,即在的某去心邻域内有：(为幂级数的和函数,故解析)其中在的某邻域内解析,且从设条件(2)成立,即在的某去心邻域,内有,其中满足已知的两个条件.由例知存在,使得在内.故在内解析,且.即为的m级零点.设条件(3)成立,即其中在的某领域内解析,且,由的例1.28知使在内在内解析.由定理,在内有,在内有作业：第218-219页4(1)(3)(5),5(1)(3).,1.基本概念定义1：设在的去心领域内解析.则称点为的孤立奇点(是任何函数的奇点).如,以为孤立奇点,但以为非孤立奇点.定义2：设为的孤立奇点,令若为的可去奇点(看作解析点).m级极点.本性奇点,则相应地,称是的可去奇点(解析点).m级极点,本性奇点.当为的可去奇点时,若是的m级零点,称为的m级零点.,3解析函数在无穷远点的性质,定义3：设为的孤立奇点,则在的去心领域内有称上式为在点的洛朗展式,并称为在的主要部分.为在的正则部分.2.结论：命题1.设是的孤立奇点,则以为可去奇点主要部分0.以为m级极点主要部分为,以为本性奇点主要部分有无穷多项.命题2.以为m级零点在的去心领域内可表示为其中在的领域内解析,且.以为m级零点以为m级零点.其中在的领域内解析且.其中在点解析,(即为可去奇点).且.3.主要定理：定理5.3设为的孤立奇点,则下面三个条件等价：1)为的可去奇点,2),3)在的去心领域内有界.定理5.4设为的孤立奇点.则下面三个条件等价：1)以为m级极点,2)在的去心领域内可表示为其中在的领域内解析,且.3)以为m级零点.定理5.5的孤立奇点为极点.定理5.6的孤立奇点为本性极点不存在.,1.整函数定义4：在z平面上解析的函数称为整函数.定理5.10设为整函数,则1)为的奇点可去奇点为的m级极点为的本性奇点有无穷多个(称为超越整函数)2.亚纯函数定义5：在Z平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数：如,4整函数与亚纯函数的概念及许瓦兹引理,定理5.11为有理函数在扩充复平面上除了极点外无其他类型的奇点.证：“”设,其中为互质的多项式,次数分别为m,n.a)的点是的极点.b)当mn时,是的极点.c)当mn时,是的可去奇点(解析点).“”若所设条件成立,则在扩充复平面上的极点有限个.若不然这些极点在扩充平面上必有聚点.它是函数的非孤立奇点,与假设矛盾.故可设为的极点,其级分别为.,令则为整函数,且以为极点或可去奇点,从而为多项式或常数.数为有理数.定义6：非有理数的亚纯函数叫超越亚纯函数：如.3.许瓦兹引理：引理：设在内解析,且则a),b),c)若,或,使则,证明：由已知得：令则在内解析.对取,使由最大模原理有：令得,特别地,即