D2.5-2.6偏微分方程理论与函数

1,二阶线性偏微分方程理论,第二章定解问题与偏微分方程理论,本次课主要内容,与函数,(一)、二阶线性偏微分方程理论,(二)、函数,2,(一)、二阶线性偏微分方程理论,基本概念,1.线性算子,T为算子，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，称T为线性算子,2.二阶线性偏微分算子,3,于是二阶线性偏微分方程,可以简记为：,齐次形式为：,4,3.边界条件算子,主要判定方法有：M判别法，柯西一致收敛准则，狄里赫列判别法，阿贝尔判别法。,4.函数项级数的一致收敛,定义：对级数,若对,当nN时，对任意,称级数一致收敛于和函数S(x).,5,原理1：,意义：欲求,叠加原理,的解，如果,且求出,的解为：,则,为方程,的解,6,说明：原理2是原理1的有条件推广。条件是算子L与求和符号能交换次序。,叠加原理,原理2：,7,其中，M表示自变量组，M0为参数组.,设u(M,M0)满足线性方程(线性定解条件),叠加原理,原理3：,且积分,收敛，,并满足L中出现的偏导数与积分号交换次序所需要的条件，那么U(M)满足方程(或定解条件）,8,叠加原理,说明：原理3可以理解为：若,那么：,9,叠加原理,原理3的证明：,主要假定了L与积分号的次序可交换！,10,叠加原理,定理：非齐次线性方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。,例1求泊松方程：,的一般解。,解:(1)先求出方程的一个特解u1,由方程右端的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：,11,(2)、求对应齐次方程通解,对应齐次方程为：,作变换：,则齐次方程化为：,再作变换：,12,方程化为：,齐次方程通解为：,原方程通解为：,13,齐次化原理1,齐次化原理,若,满足方程：,那么非齐次柯西问题,的解为：,14,含参变量积分求导法则,定理若,在,上连续，而a(u),b(u)在,上可导，且,对任意u属于,，有：,则：,15,证明：首先，,16,齐次化原理2,如果,满足方程：,那么非齐次柯西问题,的解为：,17,例2、若V(x,t;)是定解问题,是定解问题,的解，则：,的解,18,证明：首先，,其次，因V(x,t,)是齐次定解问题的解，因此，不难证明,19,解的适定性,满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称为解的适定性。,解的稳定性是指若定解条件有微小变化，其解也只有微小变化,只有解满足稳定性，其解才有意义，因定解条件常为实验数据，有测量误差。,20,1、定义,函数是指满足下面两个条件的函数,(二)、函数,几点说明：,21,(1)、几何意义,曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为1。,(2)、物理意义,x0,x,(x-x0),定义中条件(1)反映物理量集中在x0处，该处称为点源；条件(2)反映物理量有限。,22,例3、两端固定的长为L的弦，密度为，初始时刻在x0处受到冲量I的作用。求初速度和定解问题。,解:(1),x0,u(x,t),x,L,0,23,(2)由动量定理I=mv得：,所以有：,定解问题为：,24,例4、一根长为L的导热杆，密度为，比热为c，初始时刻在x0处用火焰烧了一下，传杆的热量为Q。求初始温度分布和定解问题。,解:(1),x0,u(x,t),x,L,0,25,(2),所以有：,定解问题为：,26,例5、只在t=0有单位电量通过导线，则电流强度,因为,为什么？,2、性质,(1)筛选性质：对任意连续函数(x),有：,27,所以，,证明：由于,(2)函数是偶函数,即：,有,证明：由于对任意连续函数(x),有,所以，,28,函数的导数,定义：设,定义的算符(n)称为(x)的n阶导数。,合理性解释：作形式分部积分：,由,29,1、定义,函数是指满足下面两个条件的函数,高维函数,物理解释：表示点源的广义函数。,30,例6、在M0处放置单位电荷，则电荷体密度为函数。,三维函数与一维函数的关系：,2、性质,(1)筛选性质：对任意连续函数f(M),有：,31,(2)函数是偶函数,即：,例7、求证：,32,分析：需证明等式右端满足函数两条件。,又当x不等于0时有：,