Chapter1---解析函数-1

1,武新慧2014年2月24日,数学物理方法,2,姓名：武新慧联系方式：手机Q：357369396电子邮箱：357369396,一、自我介绍：,3,二、课程简介：专业基础课,将数学思想方法应用于现代高新技术专业领域，并构建成典型的数学物理模型和解决问题的方法，从而形成了科学研究中实用性很强的数学物理方法。数学物理方法既利用了精妙的数学思想，又联系了具体的研究任务和目标。脱离了数学思维，具体研究任务就失去了理论指导方法；脱离了所研究的对象（物理模型），数学思维就难以发挥其解决实际问题的巨大潜能。数学思想、物理模型本身并不能达到尽善尽美，只有两者的有机结合才能形成推动人类科学技术赖以发展的动力之源。数学物理方法也正是实现这种有机结合的具体体现。,4,二、课程简介：专业基础课,1、特点：,（1）重要：,承前,启后,5,对背景知识要求极高,数学,物理,（2）难学：,6,2、正确的学习方法：,（1）认真听讲，记好笔记；,（4）多动手动脑，强化理解。,（3）勤学多问，独立完成作业；,3、内容：72学时,（2）及时复习，多读参考书；,4、考核方式：平时30%+闭卷考试70%,7,二、课程简介：专业基础课,数学物理方法,数学物理基础篇,复变函数篇,计算机仿真篇,数学物理方程篇,特殊函数篇,积分变换篇,8,数学物理方法,复变函数,积分变换,数学物理方程与特殊函数,解析函数,复变函数积分,复变函数级数,留数定理,拉普拉斯变换,傅里叶变换,数学物理定解问题,积分变换法,格林函数法,二阶常微分方程级数解法,理论物理、空气动力学、流体力学、弹性理论、天体物理等。信号与系统、电路原理、数字信号处理、数字图像处理的数学基础,理论物理、凝聚态物理、应用物理、电磁场与电磁波的数学基础,分离变数法,球函数,柱函数,9,5、目标：,（1）对常见问题建立起清晰的数学物理图像：,方程及其求解,方程建立赋予解物理意义,波动问题,热传导问题,静电场问题,如何建立方程？,如何求解方程？,如何赋予解物理意义？,10,（2）培养综合分析问题的能力：,经常分析各种方法的异同，融会贯通知识。,（3）加强计算能力的训练，强化对概念的理解。,三、参考教材：,1胡嗣柱，倪光炯，数学物理方法（第二版），高等教育出版社，2002年2郭敦仁，数学物理方法（第二版），人民教育出版社，1991年3四川大学数学系，高等数学（第四册），人民教育出版社，1979年4吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社，1999年,11,5彭芳麟，数学物理方程的MATLAB解法与可视化，清华大学出版社，2004年6姚端正，数学物理方法学习指导，科学出版社，2003年7周绍森，数学物理方法解题指导，江西人民出版社，1984年,12,第一篇：复变函数论,复变函数理论被人誉为19世纪最独特的创造，这个新的数学分支统治了19世纪。几乎像微积分的直接扩展统治了18世纪那样，曾被称为“19世纪的数学享受”，也曾被称为抽象科学最和谐的理论之一。,13,复数的发展,早在16世纪，对一元二次、一元三次代数方程的求解时，就引入了虚数的基本思想。,但是对虚数的本质还缺乏认识。“虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡儿（Descartes）正式取定的。“虚数”代表的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”，后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外。由此给虚数披上了一层神秘的外衣.,复数概念的进化史是数学史中最奇特的一个篇章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地。,14,十八世纪，瑞士数学家欧拉(LeonhardEuler，1707-1783)试图进一步解释虚数到底是什么数，他把虚数称之为“幻想中的数”或“不可能的数”。他在对代数的完整性介绍一书中说：因为所有可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于零，即为有序数。所以很清楚，负数的平方根不能包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一种新的数，而就其本性来说它是不可能的数，因为它们只存在于想象之中。因而通常叫做虚数或幻想中的数，于是Euler首先引入符号作为虚数单位.,15,十八世纪末至十九世纪初，挪威测量学家威塞尔(Wessel)、瑞士的工程师阿尔甘（Argand）以及德国的数学家高斯（Gauss）等都对“虚数”(也称为“复数”)给出了几何解释，并使复数得到了实际应用.特别地,在十九世纪，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，17891857）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，18151897）、黎曼（Rieman，18261866）。柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映像性质，经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复变函数论.,16,复变函数论解除了实数领域中的若干禁区，比如：,负数不能开偶数次方；,负数没有对数；,指数函数无周期性；,正弦、余弦函数的绝对值不能超过1；,实数领域,复数领域,17,第一篇复变函数论,第一章、复变函数第二章、复变函数的积分第三章、幂级数展开第四章、留数定理第五章、傅里叶变换第六章、拉普拉斯变换,18,1.1复数的基本概念,一、复数：,第一章复变函数,19,复共轭：,注意：复数的无序性,实数可以比较大小，是有序的，但复数不能比较大小，即复数是无序的.尽管复数的实部和虚部均为实数，但是由于复数是实部和虚部通过虚单位联系起来，从而是不能比较大小的.,20,?：复数为什么不能比较大小？,复数是实数的推广，若复数能比较大小，则它的大小顺序关系必须遵循实数顺序关系的有关性质。,由此可见，在复数域中不能够定义大小关系，即两个复数不能比较大小.,21,二、复数运算,22,23,24,25,例2：求1的n次方根，并讨论根在复平面单位圆周上的位置。,26,27,28,1.2复变函数,一、复变函数：以复数为自变量的函数。,二、区域：满足一定条件的点集，用来描述复变函数的定义域。,邻域，内点，外点，边界点，,闭区域,29,30,31,32,33,多值函数（一个z多个w）,根式函数：,幂函数：,反三角函数：,对数函数：,34,35,36,1.3复变函数的导数,37,证明：,（1）必要性：,38,（2）充分性：,39,40,41,例：试推导极坐标系下C-R方程。,法一：,42,43,法二：从直角坐标关系出发,44,一、解析函数：在一区域内处处可导的函数。,f(z)为解析函数,（1）函数在某点解析，则必在该点可导。,（2）函数在某点可导，则不一定在该点解析。,（3）函数在某点可导与解析是不等价的，但是函数在某区域上可导与解析是等价的。,1.4解析函数,u和v可微且满足C-R条件。,45,46,例1：判定下列函数在何处可导？在何处解析？,解：,47,48,49,50,例3：已知某解析函数的实部是：,求该解析函数及其虚部。,分析：曲线积分法，凑全微分法，不定积分法,51,对y积分，将x视作参数：,对x求导：,52,例4：已知某解析函数的实部是：,求该解析函数及其虚部。,分析：,53,解：,54,55,1、共轭调和函数：,二、解析函数的物理解释：保守场的势,解析函数的实部和虚部互为共轭调和函数,56,2、正交曲线族：,57,例5：研究电偶极子(Dipole)所产生的电势和电场强度。设在(a,b)处有点电荷+q,在(-a,-b)处有点电荷-q,则在电荷所在平面上任何一点的电势为,解：根据电势与场强的微分关系，已知等势线，可绘制出电场线。,58,clear;clf;q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5;x=-6:0.6:6;y=x;X,Y=meshgrid(x,y);rp=sqrt(X-a).2+(Y-b).2);rm=sqrt(X+a).2+(Y+b).2);V=q*k*(1./rp-1./rm);%计算电势Ex,Ey=gradient(-V);%计算电场强度AE=sqrt(Ex.2+Ey.2);Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE;%场强归一化cv=linspace(min(min(V),max(max(V),49);contour(X,Y,V,cv,k-)%用黑实线绘等势线,间隔由cv定axis(square),59,title(fontname宋体fontsize22电偶极子的场和等势线)holdonquiver(X,Y,Ex,Ey,0.7)%按尺度因子0.7的比例绘制(x,y)处的%电场线(Ex,Ey)箭头plot(a,b,ro,a,b,r+)%绘正点电荷plot(-a,-b,ro,-a,-b,r-)%绘负点电荷xlabel(x);ylabel(y)holdoff,60,说明：图中黑实线代表等势线，箭头构成电力线。根据题中电荷的位置，不难看出图中右下方为正电荷，左上方为负电荷,61,解：首先验证u(x,y)是否为调和函数，易得：,例6：已知：,求解析函数，并满足.,因而u(x,y)为调和函数，可作