偏微分方程初步

PartialDifferentialEquation(P.D.E),数学物理方程,吴事良,2020/6/9,西电应用数学系,2,Keepmindactive,makeyourselfcomfortable.,2020/6/9,西电应用数学系,3,PDE的起源及发展：,欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，随后，达朗贝尔也在论动力学中提出了特殊的偏微分方程。,1746年，达朗贝尔在其论文张紧的弦振动时形成的曲线的研究中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。,丹尼尔贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程。,2020/6/9,西电应用数学系,4,今天，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。,偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪。法国数学家傅立叶，在从事热流动的研究中，写出了热的解析理论，在文章中他提出了三维空间的热方程。,2020/6/9,西电应用数学系,5,教材：,数学物理方程谷超豪等高教出版社(第三版),参考：,偏微分方程,周蜀林,北大出版社偏微分方程,陈祖墀,中科大出版社(第二版),PartialDifferentialEquations,L.C.Evans,AMS,2008,fourthprinting/evans/,2020/6/9,西电应用数学系,6,Definitions:,Differentialequation:Equationthatrelatesthederivativesofanunknownfunction,ODE:theunknownfunctioninthedifferentialEq.onlydependsonasinglevariable,PDE:theunknownfunctioninthedifferentialEq.dependsonmorethanonevariable,1.,2.,E.g.,(ODE),(PDE),2020/6/9,西电应用数学系,7,ODEOneVariableCalculous(一元微积分),PDEMulti-VariableCalculous(多元微积分),2020/6/9,西电应用数学系,8,记号(Notations),beafunction.,thesetofallderivativesoforderk.,gradient(梯度).,Let,2020/6/9,西电应用数学系,9,Laplacianofu.,beavector-valuedfunction,Let,Divergence(散度)ofu.,Clearly,=|allderivativesoforderkarecontinuous,2020/6/9,西电应用数学系,10,1.1.BasicConcepts(PDE的基本概念),unknownfunction,orderPDE:,Order：,Classicalsolution：andsatisfiestheEq.(1).,thehighestorderderivativeoccurringintheEq.,2020/6/9,西电应用数学系,11,分类一：,Linear,Non-linear,Semilinear(半线性),Quasilinear(拟线性),Fullnonlinear(完全非线性),PDE,2020/6/9,西电应用数学系,12,线性DE：,PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如(二阶线性PDE)：,常系数线性PDE:,不然称为变系数的,齐次线性PDE:,不然称为非齐次的,线性PDE的主部:具有最高阶数偏导数组成的部分,主部,2020/6/9,西电应用数学系,13,PDE中对最高阶导数项是线性的。例如：,半线性PDE：,完全非线性PDE：,PDE中对最高阶导数不是线性的。,拟线性PDE：,拟线性PDE中，最高阶导数项的系数仅为自变量的函数。例如：,非线性PDE：,PDE中含有未知函数及其各阶导数的非线性项。,2020/6/9,西电应用数学系,14,例子经典方程（未知函数为二元函数）：,1.,2.,TransportEq.(输运方程),2020/6/9,西电应用数学系,15,4.,3.,WaveEq.(波动方程),2020/6/9,西电应用数学系,16,5.,LaplaceEq.,6.,HeatEq.热传导方程,2020/6/9,西电应用数学系,17,7.,8.,二阶拟线性,9.,一阶完全非线性,Reaction-DiffusionEq.,Hamilton-JacobiEq.,极小曲面方程,二阶半线性,2020/6/9,西电应用数学系,18,例子经典方程组：,1.,这里分别为电场强度和磁场强度，为光速.,1873年，伦敦皇家科学院J.C.Maxwell用系统而精确的形式表达了有关电和磁的全部定律。爱因斯坦称赞它是“在牛顿以来物理上所经历的最深刻、最有成果的一次真正观念上的变革”，它开辟了无线电时代的新纪元。,2020/6/9,西电应用数学系,19,2.,Systemofconservationlaws(守恒律方程组),3.,Reaction-diffusionsystem(反应扩散方程组),行波解(传播过程中波形不变)：传染病、神经网络、化学反应等,2020/6/9,西电应用数学系,20,4.,其中为粘性系数，分别为流体的速度和压力,Navier-StokesEqs.forincompressible,viscousflow(不可压缩粘性流),1、TheNavierStokesequationsarethemostfundamentalequationsoffluidmechanics.2、Theexistenceornon-existenceofglobalsolutionsisamajorunsolvedproblem(openproblem)inmathematics！,2020/6/9,西电应用数学系,21,1.2.Well-posedproblems(适定性问题),1、定解问题PDE+定解条件(具体方程时阐述),2、适定性若一个偏微分方程定解问题满足：(i)它的解存在；(ii)它的解唯一；(iii)(稳定性)它的解连续的依赖定解条件和定解问题中的已知函数，则称此定解问题是适定的；否则称为是不适定的.,注：稳定性是非常必要的.数学模型是实际问题的近似，得到的初始与边值数据都会有误差，因而定解问题的解与实际问题的解必定有差异，我们只能要求测量的误差越小时，定解问题的解与实际问题的解越靠近.,2020/6/9,西电应用数学系,22,WaveEq.(波动方程)双曲型,PoissionsEq(位势方程)椭圆型,HeatEq.热传导方程抛物型,内容：,三类方程解的适定性：存在、唯一、稳定性；解的正则性、渐近性(衰减性)等,2020/6/9,西电应用数学系,23,存在性：Step1、形式解假定定解问题的解具有非常好的性质(如光滑性)，进而求出定解问题的解的表达式.这样的解称为形式解.Step2、严格证明在定解条件满足一定的要求时，所得到的形式解确实是古典解.,唯一性及稳定性：Step1、先导出一些有用的先验估计在解存在的先验假定下，导出解所满足的估计(最大模估计，均方模估计等).Step2、利用这些估计得出定解问题的解的唯一性及稳定性.,使用的方法:,2020/6/9,西电应用数学系,24,注：波动方程、热传导方程及Laplace方程(在一定的情况下)都可求出解的