函数的单调性及极值.ppt

一、函数单调性的判定,二、函数的极值及其求法,第2节函数的单调性及极值,三、函数的最值及其求法,下一页,上一页,返回,单调性是函数的重要性态之一，在第1章中我们已经给出了函数单调性的定义，可以看出，用定义判定函数的单调性是比较困难的，这里我们将利用导数来判定函数的单调性,一、函数单调性的判定,下一页,上一页,返回,设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导.,(1)若在(a,b)内f(x)0，,则函数y=f(x)在a,b上单调减少.,(2)若在(a,b)内f(x)0,于是可得,a,b上单调增加.,(2)若f(x)0，x(a,b),则f(x)f(x)，,则称f(x0)为函数f(x)的极大值，,x0称为f(x)的极大值点；,(2)f(x0)f(x)，,则称f(x0)为函数f(x)的极小值，,x0称为f(x)的极小值点；,函数的极大值、极小值统称为函数的极值，,极大值点、极小值点统称为极值点.,下一页,上一页,返回,如图所示，x1，x4为f(x)的极大值点，,x2，x5为f(x)的极小值点.,函数的极值概念是局部性的.说f(x0)是极大值或极小值，只是与x0附近点x的函数值f(x)相比较,因此，就整个定义区间而言，一个函数可能有若干个极大值或极小值，而且有的极大值可能比有的极小值还小,下一页,上一页,返回,定理2(极值的必要条件),设函数f(x)在x0处可导，,且f(x0)为极值，则必有,f(x0)=0.,即f(x0x)-f(x0)0，x0.,证明(1)设f(x0)是极大值，则必有,由定理条件知f(x0)存在，故有,下一页,上一页,返回,几何意义：,可导函数的图形在极值点处的切线与x轴平行.,驻点：使得导数f(x0)=0的点x0.,定理2说明，可导函数的极值点必是驻点.反之，函数的驻点不一定是极值点另外，一阶不可导点也可能是极值点.,下一页,上一页,返回,例如，x=0是函数f(x)=x3的驻点而不是它的极值点；函数f(x)=x在x=0处不可导，但f(0)=0是它的极小值.,驻点和一阶不可导点统称为函数的极值嫌疑点.那么极值嫌疑点是不是极值点，如果是极值点，它是极大值点还是极小值点，如何判断？为了解决这些问题有下面的定理：,下一页,上一页,返回,定理3(极值的第一充分条件),设函数f(x)在点x0的左右近旁可导(在点x0处可以不可导，但必须连续)，,若当x在x0的左右近旁由小于x0连续地变为大于x0时，,f(x0)改变符号，,则函数f(x)在点x0取得极值，且,(1)若导数f(x)由正变负，,则f(x0)为函数f(x)的极小值，x0为极小值点.,(2)若导数f(x)由负变正，,则f(x0)为函数f(x)的极大值，x0为极大值点.,(3)若f(x)不变号，则f(x0)不是函数f(x)的极值，x0不是极值点.,下一页,上一页,返回,运用定理3求函数f(x)的极值点和极值的一般步骤是：,(1)确定函数的定义域.,(2)求出一阶导数f(x)，确定f(x)的极值嫌疑点.,(4)求出各极值点处的函数值，得到函数f(x)的全部极值.,(3)用极值嫌疑点划分定义域，列表讨论f(x)的符号变化，确定极值点.,下一页,上一页,返回,例3求函数f(x)=(x-1)3的极值.,解,(1)f(x)的定义域为(-,+).,（3）列表讨论如下：,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,返回,例4求函数f(x)=(x2-1)3-1的极值.,解(1)f(x)的定义域为(-,+).,(2)f(x)=3(x2-1)22x=6x(x+1)2(x-1)2,令f(x)=0,得驻点x1=-1,x2=0,x3=1.,（3）列表讨论如下：,下一页,上一页,返回,(1,+),所以，函数在点x=0取得极小值f(0)=-2，函数没有极大值,下一页,上一页,返回,定理4(极值的第二充分条件),(1)若f(x0)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值，x0为极小值点.(证明从略),若f(x0)=0，且f(x0)0，,则函数f(x)在点x0取得极值，且,设函数f(x)在点x0的二阶导数存在，若,下一页,上一页,返回,运用定理4求函数f(x)的极值点和极值的一般步骤是：,(1)确定定义域.,(3)考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点.,(4)求出极值点处的函数值，取得函数f(x)的全部极值.,(2)求出一阶导数f(x)，确定f(x)的所有驻点.,下一页,上一页,返回,例5求函数f(x)=x410 x2+5的极值.,解(1)f(x)的定义域为(-,+).,(2)f(x)=4x320 x=4x(x2-5)，,令f(x)=0,得驻点,(3)因为,f(x)=12x220，,于是有,所以函数f(x)在点x=0取得极大值f(0)=5,下一页,上一页,返回,在实际问题中常会遇到求函数的最大值与最小值问题下面我们在函数极值的基础上讨论如何求函数的最大值与最小值,三、函数的最大值和最小值,下一页,上一页,返回,分析：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，那么它在a,b上一定有最大值和最小值显然，在所设条件下，f(x)在闭区间a,b的最值只可能在极值点和区间的端点处达到,又因为极值点只能在极值嫌疑点中去找，所以只要求出全部极值嫌疑点和两个端点处的函数值，然后加以比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值,1.函数在闭区间上的最大值和最小值,下一页,上一页,返回,例6求函数f(x)=x3-3x2-9x+5在-2,6上的最大值和最小值.,解f(x)=3x2-6x9=3(x+1)(x-3),令f(x)=0，得驻点x1=-1,x2=3.计算f(x)在所有驻点及端点处的函数值：f(-1)=10,f(3)=-22,f(-2)=3,f(6)=59,比较这些值的大小，可知，,在-2,6上，函数f(x)的最大值为f(6)=59,最小值为f(3)=-22.,下一页,上一页,返回,例7,解函数f(x)在闭区间-1,1上连续，且有,下一页,上一页,返回,在实际问题中，若分析得知函数f(x)确实存在最大值或最小值，而所讨论的区间内仅有一个极值嫌疑点x0，则f(x0)就是所要求的最大值或最小值,2.实际问题中的最大值和最小值,下一页,上一页,返回,例8要建造一个容积为V(正常数)的圆柱形密闭容器，问应怎样选择圆柱形容器的半径R和高h，才能使所用的原材料最省？（如图所示）,解由题意可知，要求适当选择R和高h，使圆柱形密闭容器的表面积S最小而其容积V是一常数因为,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,返回,例9如图所示的电路中，已知电源电压为E，内阻为r，求负载电阻R为多大时，输出功率最