圣维南原理的概念及应用ppt课件

高等岩石力学,第二讲：特殊边界处理与网格划分问题,1,平面问题的基本方程,1.平衡微分方程,（2-2）,2.几何方程,（2-9）,3.物理方程,（平面应力问题）,（2-15）,4.边界条件,位移：,（2-17）,应力：,（2-18）,例1,如图所示，试写出其边界条件。,q,(1),(2),(3),(4),说明：,x=0的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：,例3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,例4,图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。,解：,平面应力问题，在AC、AB边界上无面力作用。即,AB边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）,A点同处于AB和AC的边界，满足式（1）和（2），解得,A点处无应力作用,静力等效圣维南原理及其应用,2-8圣维南原理,2020/6/9,ZS,ZS,为什么要用圣维南原理？如何应用圣维南原理？圣维南原理中主矩的方向是如何定义的？圣维南原理中主矩是对那个点取矩？圣维南原理中边界的面力和应力的关系？什么是主要边界？什么是次要边界？为什么正应力对中心点取矩不为零？,ZS,问题的提出：,求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。,如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。,1.、静力等效的概念,两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。,这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。,2.、圣维南原理,(Saint-VenantPrinciple),原理：,若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。,3.、圣维南原理的应用,(1),对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。,(2),有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。,注意事项：,(1),必须满足静力等效条件；,(2),只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。,如：,例7,课堂练习与讨论,2020/6/9,ZS,ZS,例7,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y方向力等效：,对O点的力矩等效：,x方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,上端面：,（方法2）,取图示微元体，,可见，与前面结果相同。,由微元体的平衡求得，,例9,图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力和剪应力的表达式，并取挤压应力=0，然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答：,式（a）满足平衡方程和相容方程？,（a）,式（a）是否满足边界条件？,代入平衡微分方程：,显然，平衡微分方程满足。,式（a）满足相容方程。,再验证，式（a）是否满足边界条件？,满足,满足,近似满足,近似满足,结论：式（a）为正确解,代入相容方程：,上、下侧边界：,右侧边界：,左侧边界：,圆孔应力集中：应力集中程度,4-9圆孔的孔边应力集中,2020/6/9,ZS,ZS,1.孔边应力集中概念,由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力。,称为孔边的应力集中。,应力集中系数：,与孔的形状有关，是局部现象；,与孔的大小几乎无关。,（圆孔为最小，其它形状较大）,2.孔边应力集中问题的求解,（1）问题：,带有圆孔的无限大板（Ba），圆孔半径为a，在无限远处受有均匀拉应力q作用。,求：孔边附近的应力。,ZS,（2）问题的求解,问题分析,坐标系：,就外边界（直线），宜用直角坐标；,就内边界（圆孔），宜用极坐标。,取一半径为r=b(ba），在其上取一点A的应力：,由应力转换公式：,原问题转化为：,无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。,ZS,新问题的边界条件可表示为：,内边界,外边界,（a）,问题1,（b）,（c）,问题2,将外边界条件（a）分解为两部分：,ZS,问题1的解：,该问题为轴对称问题，其解为,当ba时，有,（d）,ZS,问题2的解：,（非轴对称问题）,由边界条件（c），可假设：为r的某一函数乘以；为r的某一函数乘以。,又由极坐标下的应力分量表达式：,可假设应力函数为：,将其代入相容方程：,ZS,与前面类似，,该方程的特征方程：,特征根为：,方程的解为：,ZS,相应的应力分量：,对上述应力分量应用边界条件（c）,有,（e）,ZS,求解A、B、C、D，然后令a/b=0，得,代入应力分量式（e）,有,（f）,ZS,将问题1和问题2的解相加,得全解：,（4-17）,讨论：,（1）,沿孔边，r=a，环向正应力：,（4-18）,（2）,沿y轴，=90，环向正应力：,齐尔西（G.Kirsch）解,ZS,（3）,沿x轴，=0，环向正应力：,（4）,若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2作用,ZS,叠加后的应力：,（4-19）,（5）,任意形状薄板（或长柱）受面力作用，在距边界较远处有一小孔。,只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：,ZS,ZS,网格划分的问题,应力集中是在机械制造、航空航天、造船和建筑等工程应用领域中最常见的问题，指构件中应力分布不均在局部增高的现象。开有圆孔或切口的板条受拉时，在圆孔或切口附近的局部区域，应力将急剧增加，但在离开圆孔或切口稍远处，应力就迅速降低而趋于均匀。这种因杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大的现象称为应力集中。各种材料对应力集中的敏感程度不同。用塑性材料制成的零件在静载荷作用下，可以不考虑应力集中的影响。（塑性材料有屈服阶段，当局部应力达到屈服极限时，该处材料可继续增长，而应力却不增加。如果外力继续增加，增加的力就有截面上尚未达到屈服极限的材料来承担，使截面上其他点的应力相继达到屈服极限。应力不均匀程度大大降低，也限制了最大应力值）,ZS,脆性材料没有屈服阶段，一直领先，首先达到强度极限，产生断裂。所以要考虑应力集中对零件承载能力的削弱。但是零件承受周期性载荷或冲击载荷时，不论塑性材料还是脆性材料，应力集中对零件都会产生严重的影响。（以上内容来自材料力学）,ZS,高人的见解：应力集中是指的在某一个区域内应力梯度较大，如果网格稀疏的话，就不会捕捉到梯度变化较大的应力。有应力集中未必会是应力奇异。比如二维平面单元中间开有园孔，另一端受拉伸集度载荷，这样园孔处有两部分会发生应力集中。但是应力并不是无穷，即不存在应力奇异。但是应力奇异的地方一定存在应力集中。应力奇异是modelling过程造成的。我们知道实际问题中，奇异点处的应力不可能是无穷的。,ZS,应力奇异可以来自与很多因素，比如荷载，边界条件，边界的光滑性，材料系数的光滑性，等等。奇异点的存在导致有限元解的收敛速度很慢，尤其对于均匀划分的网格。有兴趣的可以试一下L形的平面问题，检查一下均匀划分网格情况下应变能的变化。使用局部细化或hp方法的原因是因为这两种方法能使有限元解较快的收敛。但是注意应力奇异点是不能够消除的。你的模型固定了，你的奇异点也固定了，通过计算是消除不掉的，计算是一个用估计解逼近一个真实解（精确解），精确解本身带有奇异点，怎么能够消除呢？所以尝试消除应力奇异点的做法是错误的。如果想消除应力奇异点，你的modelling过程就需要改变。比如二维平面单元，在某一节点处加集中力，那么此处就是一个奇异点。要消除它的话，可以把集中力变成集度线载荷加到一段长度很小的线上，奇异点就没有了。,ZS,奇异点的定义就是在某一个点处导数无穷。举一个L形区域的平面问题，某一个边固定，在另外的任意边上加无穷小的集度荷载，我们会发现无论荷载多么小，角点处的应力都是无穷。这就是几何形状引起的奇异点。现在问题来了，一方面我们知道角点处的应力无穷，另一方面我们知道对于很小的荷载，角点处的应力不可能是无穷的。问题出在什么地方呢？,ZS,首先数学模型都是建立在一些假设上的，比如对于一个二维平面问题，平衡方程为div(sigma)=f。这个平衡方程是怎么定义的呢？它是指在平面内（不包括边界）任取一点，这个点的邻域内的任意点都满足该平衡方程（邻域不接触边界）。从平衡方程中可以看出，我们是要求位移的二阶倒数是连续的，这个要求有的时候很强。因为说不定某处的二阶倒数根本不存在。对于L形区域问题，我们只知道区域内的位移的二阶倒数是存在的，连续的。角点在边界上，我们不知道二阶导数的情况。有可能该点处的二阶倒数，或一阶倒数根本不存在。通过实际推导发现，角点处的一阶导数无穷。有限元是用来解偏微分方程的工具。偏微分方程对导数的连续性是有要求的。但是有限元能够弱化对导数的要求，比如有限元要求一阶导数平方可积就行。所以有限元解可能比偏微分方程反映实际要解决的问题.,ZS,Tonnw：这个问题单元并不奇异，是几何结构奇异，在角点有高应力，但不一定无穷大，应力值取决于载何大小（不同意，角点处应力无穷，角点附近的应力与载荷大小无关。）1.应力理论趋于无穷大不代表实际应力值无穷大.最大实际应力不会超过材料的屈服应力,当线性应力超过屈服应力时,应起动塑性应力分析.（假设载荷无穷小，但是奇异点处的应力还是无穷大，难道还要启动塑性应力分析。）3.在单元形态不奇异下,细网格的应力更精确些,也就是更接近实际应力（应该是更接近精确解