数学人教版九年级上册圆中考复习.ppt

圆复习,圆中的计算,与圆有关的位置关系,圆的基本性质,一、知识结构,圆,二、主要定理,（一）圆心角定理（二）圆周角定理（三）垂径定理（四）与圆有关位置关系的判别（点线圆）（五）切线的性质与判别（六）切线长定理,在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,如由条件:,AB=AB,OD=OD,AOB=AOB,一、圆心角、弧、弦、弦心距的关系,二、垂径定理,AM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形”,若CD是直径,CDAB,1.定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,2、垂径定理的逆定理,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理及推论,直径(过圆心的线)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣弧；(5)平分优弧.,知二得三,注意:“直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗?(),错,例O的半径为10cm，弦ABCD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是_.,2cm,或14cm,3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:,(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等.,(2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.,(3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等.,COD=AOB,AB=CD,1、如图,已知O的半径OA长为5,弦AB的长8,OCAB于C,则OC的长为_.,3,AC=BC,2：如图，圆O的弦AB8，DC2，直径CEAB于D，求半径OC的长。,垂径,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.,3、如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,辅助线,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,4.圆周角:,定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.,性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.,圆周角的性质(2),ADB与AEB、ACB是同弧所对的圆周角,ADB=AEB=ACB,性质3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角).,性质4:900的圆周角所对的弦是圆的直径.,AB是O的直径,ACB=900,圆周角的性质:,A所对的弧为BCD，C所对的弧为BAD又BCD与BAD所对的圆心角的和是周角,如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形就叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.,如图，四边形ABCD是O的内接四边形，O是四边形ABCD的外接圆。,同理BD180,圆内接四边形的对角互补,自主探究四,三、圆周角定理及推论,90的圆周角所对的弦是.,定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半.,推论:直径所对的圆周角是.,直角,直径,判断:(1)相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等.(3)等弧所对的圆周角相等.,(),(),(),1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是,圆周角是.,四、1，点和圆的位置关系,1、直线和圆相交,dr;,dr;,2、直线和圆相切,3、直线和圆相离,dr.,2.直线与圆的位置关系,切线的判定定理,定理经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,C,D,O,A,如图OA是O的半径,且CDOA,CD是O的切线.,五，判定切线的方法：,（）定义,（）圆心到直线的距离d圆的半径r,（）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,切线的判定定理的两种应用,1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可,切线的性质定理,圆的切线垂直于过切点的半径.,CD切O于,OA是O的半径,C,D,O,A,CDOA.,切线的性质定理出可理解为,如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么第三个也成立。经过切点、垂直于切线、经过圆心。,A,B,C,O,.三角形的外接圆和内切圆：,A,B,C,I,三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。,三角形外接圆的圆心叫三角形的外心,三角形三边垂直平分线的交点,三角形三内角角平分线的交点,到三角形各边的距离相等,到三角形各顶点的距离相等,锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.,三角形的外心是否一定在三角形的内部？,三.正多边形:,2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径,.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角,4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距,O,3正多边形和圆,（1）.有关概念（2）.常用的方法（3）.正多边形的作图,E,F,C,D,.,边心距r,半径R,中心角,O,边,O,A,B,C,R,d,a,1.圆的周长和面积公式,2.弧长的计算公式,3.扇形的面积公式,或,四.圆中的有关计算:,周长C=2r,面积s=r2,4.圆柱的展开图:,r,h,S侧=2rh,S全=2rh+2r2,5.圆锥的展开图:,底面,侧面,a,a,h,r,S侧=ra,S全=ra+r2,1、扇形AOB的半径为12cm,AOB=120,求扇形的面积和周长.,2、如图,当半径为30cm的转动轮转过120时,传送带上的物体A平移的距离为_.,A,3：如图，把RtABC的斜边放在直线上，按顺时针方向转动一次,使它转到的位置。若BC=1,A=300。求点A运动到A位置时，点A经过的路线长。,4.如下图，所示的三角形铁皮余料，剪下扇形制成圆锥形玩具，已知C=90度，AC=BC=4cm，使剪下的扇形边缘半径在三角形边上，弧与其他边相切，设计裁剪的方案图，直接写出扇形的半径长。,O,5、扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_.,240,6、圆锥的母线为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为_,24cm2,7、已知：在RtABC,求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。,分析：以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。,8：如图，在RtABC中，ACB=900。,(1)分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗?,(2)以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？,(3)若AB=5，BC=4，你能求出题(2)中几何体的表面积吗？,9.如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到A点，求蚂蚁爬行的最短路线长是多少？,B,常见的基本图形及结论:,1.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,则:,AC=BD,若大圆的弦切小圆于C,则,O,AC=BC,两圆之间的环形面积,S=AB2,2.如图,以等腰ABC的腰AB为直径作O交底边BC于点D,则:,O,C,B,A,D,点D是BC的中点.,O,P,B,A,D,C,3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B,过弧AB上任一点E作圆O的切线,交PA,PB于点C,D,则:,(1)PCD的周长=2PA,(2)COD=900-APB,E,九、弧长的扇形的面积,扇形的面积公式为：S=,因此扇形面积的计算公式为S=或S=r,、垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧,2、相似,3、直径所对的圆周角是直角,三、基本图形（重要结论）,(一),、垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧,2、同弧所对的圆周角是圆心角的一半,(二),已知ABC内接于O，过点O分别作ODBC，OEAB，OFAC，则OD:OF:OE=（）,分析:1）找基本图形,2）在RtBOD中，设半径为r,则cosBOD=cosA=OD:r,cosCOF=cosB=OF:r,cosAOE=cosC=OE:r,A.sinA:sinB:sinCB.cosA:cosB:cosCC.tanA:tanB:tanCD.cotA:cotB:cotC,B,BOD=BAC，COF=ABC，AOE=ACB；,切线长定理,相似,垂直于弦的直径平分弦,E,如图,若AB,AC与O相切与点B,C两点,P为弧BC上任意一点,过点P作O的切线交AB,AC于点D,E,若AB=8,则ADE的周长为_;,16cm,若A=70,则BPC=_;,125,过点P作O的切线MN,BPC=_;(用A表示),90-A,M,SABC=CABCr内,AD=AF=(b+c-a),BD=BE=(a+c-b),CE=CF=(a+b-c),.,(四)、RtABC的外接圆半径等于斜边的一半,A,ABC中,C=90,AC=6cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离是_;A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm,RtABC的内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半,已知ABC外切于O,(1)若AB=8,BC=6,AC=4,则AD=_;BE=_;CF=_;(2)若CABC=36,SABC=18,则r内=_;,(3)若BE=3,CE=2,ABC的周长为18,则AB=_;,SABC=CABCr内,1,8,4,6,3,5,1,7,ABCDADCB,(五)、相交两圆的连心线垂直平分公共弦,A,已知：O1和O2相交于A、B（如图）求证：O1O2是AB的垂直平分线,证明：连结O1A、O1B、O2A、O2BO1A=O1BO1点在AB的垂直平分线上O2A=O2BO2点在AB的垂直平分线上O1O2是AB的垂直平分线,半径分别是20cm和15cm的两圆相交，公共弦长为24cm，求两圆的圆心距？,O1O2=O2C-O1C=16-9=7.,O1O2=O2C+O1C=16+9=25.,（六）如图，设O的半径为r，弦AB的长为a，弦心距OD=d且OCAB于D，弓形高CD为h，下面的说法或等式：r=d+h,4r2=4d2+a2已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个，其中正确的结论的序号是()A.B.C.D.,C,r,h,a,d,四、小试牛刀1.根据下列条件,能且只能作一个圆的是()A.经过点A且半径为R作圆;B.经过点A、B且半径为R作圆;C.经过ABC的三个顶点作圆;D.过不在一条直线上的四点作圆;2.能在同一个圆上的是()A.平行四边形四个顶点;B.梯形四个顶点;C.矩形四边中点;D.菱形四边中点.,C,C,3.两圆的圆心都是点O,半径分别r1,r2,且r1OPr2,那么点P在()A.O内B.小O内C.O外D.小O外,大O内4.下列说法正确的是()A.三点确定一个圆;B.一个三角形只有一个外接圆;C.和半径垂直的直线是圆的切线;D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等.,D,B,5.与三角形三个顶点距离相等的点,是这个三角形的()A.三条中线的交点;B.三条角平分线的交点;C.三条高线的交点;D.三边中垂线的交点;6.圆的半径为5cm,圆心到一条直线的距离是7cm,则直线与圆()A.有两个交点;B.有一个交点;C.没有交点;D.交点个数不定,D,C,7.若两圆的半径分别为R,r,圆心距为d,且满足R2+d2=r2+2Rd,则两圆的位置关系为()A.内切B.内切或外切C.外切D.相交,由题意:R2+d22Rd=r2即:(Rd)2=r2Rd=rRr=d即两圆内切或外切,8.(苏州市)如图，四边形ABCD内接于O，若它的一个外角DCE=70，则BOD=()A35B.70C110D.140,D,9、(广州市)如图，A是半径为5的O内的一点，且OA=3，过点A且长小于8的()A.0条B.1条C.2条D.4条,A,过点A且弦长为整数的弦有()条,4,10、在等腰ABC中，AB=AC=2cm，若以A为圆心，1cm为半径的圆与BC相切，则ABC的度数为（）A、30B、60C、90D、120,A,C,B,2,2,D,A,11、定圆0的半径是4cm,动圆P的半径是1cm,若P和0相切,则符合条件的圆的圆心P构成的图形是（）,解:(1)若0和P外切，则OPR+r=5cmP点在以O为圆心,5cm为半径的圆上；,(2)若0和P内切，则OP=R-r=3cmP点在以O为圆心,3cm为半径的圆上。,解：设大圆半径R=3x,小圆半径r=2x依题意得：3x-2x=8，解得：x=8R=24cm，r=16cm两圆相交，R-rdR+r8cmd40cm,12、两个圆的半径的比为2:3,内切时圆心距等于8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值范围是（）,13.ABC中,A=70,O截ABC三条边所得的弦长相等.则BOC=_.A.140B.135C.130D.125,E,M,N,G,F,D,B,C,A,O,BOC90+A,D,14、一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只狸猫应蹲在何处，才能最省力地顾及到三个洞口?,【解析】在农村、城镇上这是一个猫捉老鼠会遇到的一个问题，我们可以为这个小动物设计或计算出来.这个问题应考虑两种情况：设三个洞口分别为A、B、C三点，又设A、C相距最远当ABC为钝角三角形或直角三角形时，AC的中点即为所求.当ABC为锐角三角形时，ABC的外心即为所求.,15.梯形ABCD外切于O,ADBC,AB=CD,（1）若AD=4,BC=16,则O的直径为_;,10,（2）若AO=6,BO=8,则SO=_;,8,16、如图,AB是半O的直径,AB=5,BC=4,ABC的角平分线交半圆于点D,AD,BC的延长线相交于点E,则四边形ABCD的面积是DCE的面积的()A.9倍B.8倍C.7倍D.6倍,O,A,B,C,D,E,.,1,3,4,5,17、如图,AB是半圆O的直径,CD是半圆O的直径,AC和BD相交于点P,则=()A.sinBPCB.cosBPCC.tanBPCD.tanBPC,A,C,D,B,P,.,O,B,18、如图,以O为圆心的两同心圆的半径分别是11cm和9cm,若P与这两个圆都相切,则下列说法正确的有()P的半径可以是2cm;P的半径可以是10cm;符合条件的P有无数个,且点P的路线是曲线;符合条件的P有无数个,且点P的路线是直线;A.1个B.2个C.3个D.0个,19.如图RtABC中,AB=10,BC=8,以点为圆心,4.8为半径的圆与线段AB的位置关系是_;,相切,设O的半径为r,则,当_时,O与线段AB没交点;当_时,O与线段AB有两个交点;当_时,O与线段AB仅有一交点;,0r4.8,或r8,4.8r6,r=4.8或6r8,第23章圆(复习二),扬州市梅岭中学戴蔚,四、综合应用能力提升,1、在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.,【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图(1)和(2),图(1)中OC=120CD=80(mm)图(2)中OC=120CD=OC+OD=320(mm),2、已知AB是O的直径,AC是弦,AB=2,AC=,在图中画出弦AD,使得AD=1,求CAD的度数.,A,C,B,45,60,15,CAD=105或15,说明:圆中的计算问题常会出现有两解的情况,在涉及自己作图解题时,同学们要仔细分析,以防漏解.,5.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为1，那么这条弦所对的圆周角为（),30或135,3、在梯形ABCD中,ADBC,BCD=90,以CD为直径的圆与AB相切于点E,S梯形ABCD=21cm2,周长为20cm,则半圆的半径为()A.3cm;B.7cm;C.3cm或7cm;D.2cm,A,B,C,D,O.,.E,分析:基本图形:切线长定理,切线的性质与判定,直角梯形.,x,x,y,y,找等量关系:,2x+2y+2r=20(x+y)2r2=21,x+y=7,r=3或x+y=3,r=7(不符合,舍去),A,4、已知O1和O2外切与点A,PA与两个圆都相切,过点P分别作PB,PC与O1O2相切,则()A.1=23;B.2=3;C.1=22;D.1=2+3;,A,连结AB,若PAB=70,PBC=55则PAC=_,75,4.(临汾)张师傅要用铁皮做成一个高为40cm，底面半径为15cm的圆柱形无盖水桶，需要铁皮cm2（接缝与边沿折叠部分不计，结果保留）,1425,5.如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成一个圆锥模型，设底圆的半径为r，扇形半径为R，则r与R之间的关系为()A.R=2rB.C.R=3rD.R=4r,D,6.已知如图(1)，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，求小虫爬行的最短距离.,解：侧面展开图如图(2),(1),(2),21=，n=90SA=4，SC=2AC=2.即小虫爬行的最短距离为25.,7、在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）现找出其中一种，测得C=90，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC的边上，且扇形的弧与ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径。（只要画出图形，并直接写出扇形半径）,C,A,B,分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角形边上相切的情况有两种（1）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切）（2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一斜边相切）并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）（1）与一直角边相切可如图所示（2）与一斜边相切如图所示（3）与两直角边相切如图所示（4）与一直角边和一斜边相切如图所示,解：可以设计如下图四种方案：r1=4r2=2r3=2r4=4-4,8、已知,ABC内接于O,ADBC于D,AC=4,AB=6,AD=3,求O的直径。,分析:证明ABEADC,引申:(1)求证:ABAC=ADAE;,F,(2)若F为弧BC的中点,求证:FAEFAD;,9、如图,在ABC中,A=60,AB=10,AC=8,O与AB,AC相切,设O与AB的切点为E,且圆的半径为R,若O在变化过程中,都是落在ABC内,(含相切),则x的取值范围是_.,10,8,x,10,5,3,5,2,LR内=85,R=9-,0R9-,10、一圆弧形桥拱，水面AB宽32米，当水面上升4米后水面CD宽24米，此时上游洪水以每小时0.25米的速度上升，再通过几小时，洪水将会漫过桥面？,解：过圆心O作OEAB于E，延长后交CD于F，交CD于H，设OE=x，连结OB，OD，由勾股定理得OB2=x2+162OD2=(x+4)2+122X2+162=(x+4)2+122X=12OB=20FH=440.25=16（小时）答：再过16小时，洪水将会漫过桥面。,解两圆相交R-r0d-(R+r)OB)的长分别是方程x2+kx+60=0的两个根.(1)求线段OA、OB的长(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CDCB时，求C点的坐标(3)在O1上是否存在点P，使SPOD=SABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由,OBOA，AB是O1的直径OA2+OB2=132，又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OAOB，132=(-k)2-260解之得：k=17,OA+OB0，k0故k=-17