《数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]

第十一章 反常积分复习自测题一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题：1、正确地判断下列反常积分的敛散性：（1）（）；（2）（）；（3）（）。2、正确地判断下列反常积分的敛散性：（1）（）；（2）（）；（3）。3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值：（1）；（2）；（3）；（4）。4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶函数的积分特征）（1）若函数在上连续，为在上的原函数，记，则无穷积分收敛存在，且。（2）若函数在上连续，为在上的原函数，记，则无穷积分收敛和都存在，且。（3）若函数和都在上连续可微，且存在，则无穷积分收敛收敛，且，其中。（4）若函数在上连续，在（其中为有限数或）上连续可导，且严格单调递增，则无穷积分收敛积分收敛，且。（5）设函数在上连续，若为偶函数，则收敛收敛，且；若为奇函数，则收敛收敛，且。提示：注意由换元法可得。二、举例说明下面关系不一定成立：1、瑕积分收敛不一定能推出瑕积分；无穷积分收敛也不一定能推出无穷积分收敛；注：定积分的乘法性对反常积分不一定成立。2、无穷积分收敛不一定能推出无穷积分收敛；注：注意与定积分的绝对值性质的区别。3、设函数在上连续，且收敛，则不一定成立；三、通过下面的问题探索的情况：1、设函数定义在上，且在任何上可积，收敛，若存在，则；2、利用1探索：（1）设函数在上单调，且收敛，则；（2）设函数在上连续可导，且与都收敛，则；3、设函数在上连续，且收敛，则在上一致连续；4、设函数在上连续，且收敛，试探索下面的问题：（1）证明：当时，（其中为任意给定的正数），从而；提示：注意到无穷积分的定义即可。（2）利用（1）和积分第一中值公式证明：在中，存在严格递增的数列满足：，；（3）类似于（1）方法证明：若函数在上单调递增（减），且收敛，则还有。注：注意到第三大题的第2小题（1），（3）表明：（）。提示：不妨设在上单调递增，注意到下面的积分不等式以及无穷积分的定义即可：当时，。5、若函数在（）上连续可微，且单调递增（减），则收敛收敛。提示：利用第三大题的第4小题（3）以及反常积分的分部积分公式。四、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分的线性性、区间可加性和绝对值性质（注意体会性质的内容、含义以及在反常积分敛散性判别中的作用）；理解反常积分绝对收敛和条件收敛的含义；用适当性质解决下面的问题：1、若无穷积分收敛，无穷积分发散，则无穷积分发散；提示：反证法。2、判断的敛散性；3、利用适当性质说明：在无穷积分中，当同号时，收敛等价于与收敛（即绝对收敛），因此，当同号时，敛散性的判别等价于敛散性的判别。五、仔细体会无穷积分和瑕积分收敛的柯西准则，并用柯西准则解决下面的问题：设函数，和都定义在上，且它们在任何上可积，若对任意，有，则（1）当和都收敛时，也收敛；（2）当和都收敛，且时，收敛，且。提示：（1）用柯西准则；（2）可直接用定义和极限的迫敛性。六、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分绝对收敛的各种常用判别方法，熟悉柯西判别法中适当幂函数的两种常见的选择手段（等价量的代换手段、与幂函数变化快慢进行比较的手段）；养成在选择判别法之间，先观察反常积分的类型，被积函数是否同号的习惯。试用绝对收敛的判别法解决下面的问题：判断下列反常积分的敛散性：1、，（），（）；2、（），（），（），（，）；3、，；4、，。七、仔细体会并熟练掌握无穷积分收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，理解这两个判别法之间的内在关系（阿贝尔判别法可用狄利克雷判别法及无穷积分的性质导出），熟悉如何选择适当的变换将瑕积分转化为无穷积分。试解决下面的问题：1、判断下面反常积分的收敛性（在收敛的情况下，如有可能，还要尽可能判断出是绝对收敛，还是条件收敛）（1），（其中，和为常数）；（2），；提示：利用（1）或变量替换后再用（1）。（3）；提示：作变量替换化为无穷积分后再用（1）。2、设函数在上单调递减，且（注意此条件蕴含了，为什么？），则（1）与都收敛；提示：用狄里克雷判别法。（2）若进一步有收敛，则与都绝对收敛；若进一步有发散，则与都条件收敛。提示：类似于第七大题第1小题（1）的方法。（3）若把函数“在上单调递减”改为“在上单调递增”，上述结果是否有变化？注：此问题为第七大题第1小题（1）的一般情形。3、设函数在（）上连续，且收敛，探索和的收敛性。提示：用阿贝尔判别法。八、试讨论下列反常积分的敛散性（注意：先正确地判断类型；再注意混合反常积分敛散性的含义）：1、；2、；3、（其中）。九、反常积分的典型计算问题：（注意：在反常积分值的计算中经常采用线性性、区间可加性、以及第一大题中涉及的牛顿莱布尼茨公式、换元法和分部积分法）1、计算瑕积分（）的值；提示：先用线性性，对用适当换元法和区间可加性，其中对再用适当换元，。2、利用1计算下列反常积分的值：（1）；（2）；（3）；（4）。提示：（1）用适当换元和区间可加性推出。（2）用分部积分法推出，其中，。（3）用线性性及1，并注意到。（4）用换元及（3）。3、通过计算的方法探索无穷积分与的关系，并计算出它的值。提示：先用区间可加性得，再用换元得，从而，表明与无关。4、计算无穷积分和的值，其中。提示：用分部积分法。5、伏如兰积分问题：设函数在上连续，按下面的步骤探索反常积分（称为伏如兰积分）的值：（1）若存在，则