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第一章矢量分析1.3矢量场的通量和散度,1,主要内容,通量散度散度定理,学习目的,掌握通量、散度的物理意义了解通量、散度的关系灵活运用散度定理求解矢量场,2,1.3.1矢量场的通量,矢量场的通量,若S为闭合曲面,定义：矢量A沿有向曲面S的面积分称为矢量A穿过该有向曲面S的通量。,通量指通过该曲面的矢线量，它代表曲面S内存在的通量源。,表达式：,物理含义：,通量源位于闭合曲面S包围形成的体积V内。,P,3,讨论：,说明流出闭合面的通量大于流入曲面的通量，即闭合面内存在正源。,（1）当时，,说明流出闭合面的通量小于流入曲面的通量，即闭合面内存在负源（沟）。,（2）当时，,说明流出闭合面的通量等于流入曲面的通量，称闭合面内无源。,（3）当时，,(a),(b),(c),4,1.3.2矢量场的散度,表达式：,定义：如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场A在P点的散度。即,直角坐标系中散度的计算公式,散度代表在某点的通量源强度，也是通量（体）密度。,5,散度的物理意义：,（1）矢量的散度是一个标量，是空间坐标的函数。（2）散度代表矢量场的通量源的分布特性。,(无源),(正源),(负源),（3）在矢量场中，若，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处，称之为无源场。,6,柱坐标系中：,球坐标系中：,直角坐标系中：,常用坐标系中散度的计算公式,7,1.3.3散度定理（高斯定理）,物理含义：矢量A穿过任一封闭曲面S的总通量等于矢量散度在S所包围体积V内的体积分。,式中S为V的外表面。,表达式：,8,故有,对于有限体积V，可将其按如图方式进行分割，对每一小体积元有,散度定理的证明：,9,【例】如图所示，设S为由柱面及平面和围成的封闭曲面，求矢径r穿出S的柱面部分的通量。,【解】设s1和s2为闭合曲面S的顶部和底部的圆面，则：,10,【例】已知矢量场试确定a,b,c,使得A成为一个无源场。,【解】若使A成为一个无源场，即要求,解得,11,内容小结,1.矢量场的通量-通量源2.矢量场的散度-通量密度3.散度
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