2016北京市中考数学专题突破一：填空压轴题型(含答案)

专题突破(一)填空压轴题型 规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动，对学 生的“数感”提出较高要求 新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新规则、新概念、新材料来创设新情景，提升类比迁移等 综合素质 因此，这两个考点成为北京市中考填空题压轴题的热点 20122015 年北京中考知识点对比 题型 年份 填空 2012 探究式的规律 2013 定义新运算，探 究规律 2014 函数综合循环规 律 2015 尺规作图的理论 依据 12015北京 阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线 已知：线段 AB. 图 Z11 求作：线段 AB 的垂直平分线 小芸的作法如下： 如图， 图 Z12 1 (1)分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于C，D 两点； 2 (2)作直线 CD. 所以直线 CD 就是的所求作的垂直平分线 老师说：“小芸的作法正确” 请回答：小芸的作图依据是_ 22014北京 在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P(x，y)，我们把点 P (y1，x1)叫做点 P 的 伴随点，已知点 A1的伴随点为 A2，点 A2的伴随点为 A3，点 A3的伴随点为 A4，这样依次得到点A1，A2， A3，A4，若点 A1的坐标为(3，1)，则点 A3的坐标为_，点 A2014的坐标为_；若点 A1的 坐标为(a，b)，对于任意正整数 n，点 An均在 x 轴上方，则 a，b 应满足的条件为_ 1 32013北京 如图 Z13，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l：tx1，双曲线y .在 l 上 x 取点 A1，过点 A1作 x 轴的垂线交双曲线于点B1，过点 B1作 y 轴的垂线交 l 于点 A2，请继续操作并探究： 过点 A2作 x 轴的垂线交双曲线于点B2，过点 B2作 y 轴的垂线交 l 于点 A3，这样依次得到l 上的点 A1， A2，A3，An，.记点 An的横坐标为 an，若 a12，则 a2_，a2013_；若要将上述操 作无限次地进行下去，则a1不能取的值是_ 图 Z13 42012北京 在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点A(0， 4)，点 B 是 x 轴正半轴上的整点，记AOB 内部(不包括边界)的整点个数为 m.当 m3 时，点 B 的横坐标 的所有可能值是_；当点 B 的横坐标为 4n(n 为正整数)时，m_(用含 n 的代数式 表示) 图 Z14 52011北京 在下表中，我们把第i 行第 j 列的数记为 ai，j(其中 i，j 都是不大于 5 的正整数)，对于 表中的每个数 ai，j规定如下： 当 ij 时， ai，j1； 当 ij 时， ai，j0.例如： 当 i2， j1 时， ai，ja2，11.按此规定， a1，3_； 表中的 25 个数中，共有_个 1；计算 a1，1ai，1a1，2ai，2a1，3ai，3a1，4ai，4a1，5ai，5的值 为_ a1，1 a2，1 a3，1 a4，1 a5，1 a1，2 a2，2 a3，2 a4，2 a5，2 a1，3 a2，3 a3，3 a4，3 a5，3 a1，4 a2，4 a3，4 a4，4 a5，4 a1，5 a2，5 a3，5 a4，5 a5，5 一、与数与式有关的规律探究 251017 26 1 2015朝阳一模 一组按规律排列的式子：， 2，3， 4，5， ， 其中第 7 个式子是_， aaaaa 第 n 个式子是_(用含 n 的式子表示，n 为正整数) 二、与图形有关的规律探究 22015西城一模 如图 Z15，数轴上点A 的初始位置表示的数为1，现点 A 做如下移动：第1 次 点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1，第 2 次从点 A1向右移动 6 个单位长度至点 A2，第 3 次从点 A2向左移 动 9 个单位长度至点 A3，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数是_，如果点 An与原点 的距离不小于 20，那么 n 的最小值是_ 图 Z15 3 2014延庆县一模 如图 Z16， 点 E， D 分别是正三角形 ABC、 正四边形 ABCM、 正五边形 ABCMN 中以 C 点为顶点的一边延长线和另一边延长线上的点，且BECD，DB 的延长线交 AE 于点 F，则图中 AFB 的度数为_；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n 边形”，其他条件不 变，则AFB 的度数为_(用含 n 的代数式表示，其中，n3 且 n 为整数) 图 Z16 42014昌平区一模 已知：四边形 ABCD 的面积为 1.如图 Z17，取四边形 ABCD 各边的中点， 则图中阴影部分的面积为_；如图 Z17，取四边形ABCD 各边的三等分点，则图中阴影部分的 面积为_；取四边形 ABCD 各边的 n(n 为大于 1 的整数)等分点，则图中阴影部分的面积为 _ 图 Z17 三、平面直角坐标系中的规律探究 52014石景山一模 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：yx，作 A1(1，0)关于直线 yx 的对 称点 B1，将点B1向右平移 2 个单位得到点 A2；再作A2关于直线 yx 的对称点 B2，将点B2向右平移 2 个 单位得到点 A3；.请继续操作并探究：点A3的坐标是_，点 B2014的坐标是_ 62015房山一模 如图 Z18，在平面直角坐标系中放置了5 个正方形，点 B1(0，2)在 y 轴上，点 C1， E1， E2， C2， E3， E4， C3在 x 轴上， C1的坐标是(1， 0)， B1C1B2C2B3C3.则点 A1到 x 轴的距离是_， 点 A2到 x 轴的距离是_，点 A3到 x 轴的距离是_ 图 Z18 72015东城一模 在平面直角坐标系 xOy 中，记直线yx1 为 l.点 A1是直线 l 与 y 轴的交点，以 A1O 为边作正方形 A1OC1B1，使点 C1落在 x 轴正半轴上，作射线C1B1交直线 l 于点 A2，以 A2C1为边作正 方形 A2C1C2B2，使点 C2落在 x 轴正半轴上，依次作下去，得到如图Z19 所示的图形则点B4的坐标是 _，点 Bn的坐标是_ 图 Z19 82014丰台一模 如图 Z110，已知直线 l：y 3x，点 A 1 坐标为(0，1)，过点 A1作 y 轴的垂线 3 交直线 l 于点 B1，以原点O 为圆心，OB1长为半径画弧交 y 轴于一点 A2；再过点A2作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆心，OB2长为半径画弧交 y 轴于点 A3，按此作法进行下去，点 A4的坐标为 (_，_)；点 An的坐标为(_，_) 图 Z110 92014顺义一模 如图 Z111，所有正三角形的一边平行于x 轴，一顶点在y 轴上从内到外，它 们的边长依次为 2，4，6，8，顶点依次用 A1，A2，A3，A4，表示，其中 x 轴与边 A1A2，边 A1A2与 A4A5，A4A5与 A7A8，均相距一个单位长度，则顶点 A3的坐标为_，A31的坐标为_，A3n 2(n 为正整数)的坐标为_ 图 Z111 4 102014通州一模 如图 Z112，在反比例函数 y (x0)的图象上，有点 P1，P2，P3，P4， x Pn(n 为正整数，且 n1)，它们的横坐标依次为1，2，3，4，n(n 为正整数，且n1)分别过这些点 作 x 轴与 y 轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分(近似看成三角形)的面积从左到右依次为S1， S2， S3， ， Sn1(n 为正整数， 且 n2)， 那么 S1S2S3_， S1S2S3S4Sn1_(用 含有 n 的代数式表示) 图 Z112 112014燕山一模 如图 Z113，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将线段OP0绕 点 O 按顺时针方向旋转 45，再将其长度伸长为 OP0的 2 倍，得到线段 OP1；又将线段 OP1绕点 O 按顺 时针方向旋转 45， 再将其长度伸长为OP1的 2 倍， 得到线段 OP2， ， 这样依次得到线段 OP3， OP4， ， OPn.则点 P2的坐标为_；当 n4m1(m 为自然数)时，点 Pn的坐标为_ 图 Z113 12 2014西城一模 如图 Z114， 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A(1， 0)， B(2， 0)， 正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正方向无滑动滚动，当点 D 第一次落在 x 轴上时，点 D 的坐标为_；在运动过程中，点 A 的纵坐标的最大值是_；保持上述运动过程，经过点(2014， 3)的正六边形的顶点是_ 图 Z114 132015东城二模 如图 Z115，已知 A1，A2，An，An1在 x 轴上，且 OA1A1A2A2A3 AnAn11，分别过点 A1，A2，An，An1作 x 轴的垂线交直线 yx 于点 B1，B2，Bn，Bn1，连 接 A1B2， B1A2， A2B3， B2A3， ， AnBn1， BnAn1， 依次相交于点 P1， P2， P3， ， Pn， A1B1P1， A2B2P2， ， AnBnPn的面积依次记为 S1，S2，Sn，则 S1_，Sn_ 图 Z115 四、定义新运算 142014东城一模 现定义运算“”，对于任意实数 a，b，都有 aba23ab，如：35 32335，根据定义的运算求 2(1)_若 x26，则实数 x 的值是_ 152015燕山一模 定义：对于任意一个不为1 的有理数 a，把 为 1 称为 a 的差倒数，如 2 的差倒数 1a 1111 1，1 的差倒数为 .记 a1 ，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3的差 2121（1）2 倒数，依此类推，则a2_，a2015_ 162015海淀一模 若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边 所对的角称为等径角已知ABC 是等径三角形，则等径角的度数为_ 172014海淀一模 在一次数学游戏中，老师在A，B，C 三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依 次为 a0，b0，c0，记为 G0(a0，b0，c0)游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数 最多的一个盘子中拿出两个， 给另外两个盘子各放一个(若有两个盘子中的糖果数相同， 且都多于第三个盘 子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果)，记为一次操作若三个盘子中的糖果数都相 同，则游戏结束n 次操作后的糖果数记为Gn(an，bn，cn) (1)若 G0(4，7，10)，则第_次操作后游戏结束； (2)小明发现：若 G0(4，8，18)，则游戏永远无法结束，那么G2014_ 2 n ，n10 182015海淀模拟 对于正整数 n，定义 F(n)，其中 f(n)表示 n 的首位数字、末位 f（n），n10 数字的平方和例如：F(6)6236，F(123)f(123)123210. 规定 F1(n)F(n)，Fk 1(n)F(Fk(n)(k 为正整数)例如：F1(123)F(123)10，F2(123)F(F1(123) F(10)1. (1)求：F2(4)_，F2015(4)_； (2)若 F3m(4)89，则正整数 m 的最小值是_ 192015海淀二模 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行， 白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向(横向、竖向或者是斜 着的方向)上连成五子者为胜如图 Z116，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图观察棋盘，以 点 O 为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A 的坐标为(7，5)，则白子 B 的坐标为_；为了不让白方在短时间内获胜，此时黑方应该下在坐标为_的位置处 图 Z116 参考答案参考答案 北京真题体验 1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 2(3，1)(0，4)1a1 且 0b2 解析 A1的坐标为(3，1)， A2(0，4)，A3(3，1)，A4(0，2)，A5(3，1)， ， 依此类推，每 4 个点为一个循环组依次循环， 201445032， 点 A2014的坐标与 A2的坐标相同，为(0，4)； 点 A1的坐标为(a，b)， A2(b1，a1)，A3(a，b2)，A4(b1，a1)，A5(a，b)， ， 以此类推，每 4 个点为一个循环组依次循环， 对于任意的正整数 n，点 An均在 x 轴上方， a10， b20， a10，b0， 解得1a1，0b2. 311 30，1解析 当 a12 时，B1的纵坐标为 b1 ， 232 3 B1的纵坐标和 A2的纵坐标相同，则 A2的横坐标为 a2 ， 2 2 A2的横坐标和 B2的横坐标相同，则 B2的纵坐标为 b2 ， 3 1 B2的纵坐标和 A3的纵坐标相同，则 A3的横坐标为 a3 ， 3 A3的横坐标和 B3的横坐标相同，则 B3的纵坐标为 b33， B3的纵坐标和 A4的纵坐标相同，则 A4的横坐标为 a42， 1 A4的横坐标和 B4的横坐标相同，则 B4的纵坐标为 b2 ， 2 313 即当 a12 时，a2 ，a3 ，a42，a5 ， 232 1212 b1 ，b2 ，b33，b4 ，b5 ， 2323 2013 1 671，a2013a3 ； 33 点 A1不能在 y 轴上(此时找不到 B1)，即 x0， 点 A1不能在 x 轴上(此时 A2在 y 轴上，找不到 B2)，即 yx10， 解得 x1. 综上可得 a1不可取 0，1. 43 或 46n3解析 如图： 当点 B 在(3，0)点或(4，0)点时，AOB 内部(不包括边界)的整点为点(1，1)，(1，2)，(2，1)，共三个 点， 所以当 m3 时，点 B 的横坐标的所有可能值是3 或 4. （4212）33 当点 B 的横坐标为 8 时，n2，AOB 的内部(不包括边界)的整点个数 m 2 9. （4312）33 当点 B 的横坐标为 12 时， n3， AOB 的内部(不包括边界)的整点个数 m 2 15. （4n12）33 所以当点 B 的横坐标为 4n(n 为正整数)时，m6n3. 2 50151解析 由题意当 ij 时，ai，j0，当 ij 时，ai，j1；由图表中可以很容易知道等于 1 的数有 15 个 由题意，很容易发现，从i 与 j 之间大小关系分析： 当 ij 时，ai，j0； 当 ij 时，ai，j1， a1，1ai，1a1，2ai，2a1，3ai，3a1，4ai，4a1，5ai，51100001. 北京专题训练 一、与数与式有关的规律探究 2 50 n1 n 1 1. 7 (1) n 解析 观察分母的变化为 a 的 1 次幂、2 次幂、3 次幂、n 次幂；分子的 aa 变化为：2，5，10，17，n21；分式符号的变化为：，(1)n 1. 2 2 2 1 1 (1) 1 ， aa 2 5 3 2 1 2(1) 2 ， aa 2 10 4 3 1 (1) 3 ， a3a 50 第 7 个式子是 7， a 第 n 个式子为：(1)n1 n21 n . a 二、与图形有关的规律探究 2713解析 序号为奇数的点在点A 的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点 A 的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到 A13表示的数以及 A12表示的数，则可判断 An与原点的 距离不小于 20 时 n 的最小值 第 1 次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1，则 A1表示的数为 132； 第 2 次点 A1向右移动 6 个单位长度至点 A2，则 A2表示的数为264； 第 3 次点 A2向左移动 9 个单位长度至点 A3，则 A3表示的数为 495； 第 4 次点 A3向右移动 12 个单位长度至点 A4，则 A4表示的数为5127. 第 5 次点 A4向左移动 15 个单位长度至点 A5，则 A5表示的数为 7158； 则点 A7表示的数为8311，点 A9表示的数为11314，A11表示的数为14317， A13表示的数为17320， A6表示的数为 7310，A8表示的数为 10313，A10表示的数为 13316，A12表示的数为 16 319， 所以如果点 An与原点的距离不小于 20，那么 n 的最小值是 13. 360 （n2）180 解析 (1)在中的正三角形ABC 中，ABBC，ABCACB60， n ABEBCD120， 又BECD， ABEBCD， ED， 又FBECBD， AFBEFBEDCBDACB60. 由以上不难得到中AEBBDC，进一步证出中BEFBDC， 得出，中AFB 的度数等于DCB90，同理可得中AFB 度数等于BCM108. (2)由正三角形、正四边形、正五边形时，AFB 的度数分别为 60，90，108，可得出正n 边形 （n2）180 中，其他条件不变，则AFB 的度数为. n 172 4.1 2 解析 如图，连接 AC，BD. 29n 点 A1，D1是边 AB，AD 的中点， A1，D1是ABD 的中位线， 1 A1D1BD，A1D1 BD， 2 AA1D1ABD， SAA1D1 A1D12 1 BD ， 4S ABD 1 SAA1D1 SABD. 4 111 同理，SCB1C1 SBCD，SBA1B1 SABC，SDD1C1 SACD， 444 S 阴影S四边形 1 (SAA D SCB C SBA B SDD C )1 (SSBCDSABCS ABCD111111114ABD ACD)1 211 S 四边形ABCD1 .422 1227 如图同理可得 S 阴影1 (SABCSBCDSABCSACD)1 S四边形ABCD1 .9999 当取四边形 ABCD 各边的 n(n 为大于 1 的整数)等分点时，则 122 S 阴影1 2(SABDSBCDSABCSACD)12S 四边形ABCD1 2. nnn 三、平面直角坐标系中的规律探究 5(3，2)(2013，2014)解析 根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案 如图所示：点 A3的坐标是(3，2)， B1(0，1)，B2(1，2)，B3(2，3)， B 点横坐标比纵坐标小 1， 点 B2014的坐标是：(2013，2014) 故答案为：(3，2)，(2013，2014) 33 63 24 7(15，8)(2n1，2n 1)解析 根据一次函数，得出点A1，A2的坐标，继而得知B1，B2等点的坐 标，从中找出规律，进而可求出Bn的坐标 把 x0 代入 yx1，可得 y1， 所以可得点 B1的坐标是(1，1) 把 x1 代入直线 yx1，可得 y2， 所以可得点 B2的坐标是(3，2)， 同理可得点 B3的坐标是(7，4)；点 B4的坐标是(15，8)； 由以上得出规律是 Bn的坐标为(2n1，2n 1) 点评 本题考查了正方形的性质， 解此题的关键是根据一次函数的图象上点的坐标得出规律， 题目比 较好，但是一道比较容易出错的题目 80802n 1解析 已知直线 y 3x，点A 1 坐标为(0，1)，过点A1作 y 轴的垂线交直线 l 于点 3 B1，可知 B1点的坐标为( 3，1)， 以原点 O 为圆心，OB1长为半径画弧交 y 轴于点 A2，OA2OB12OA12，点 A2的坐标为(0，2)， 这种方法可求得 B2的坐标为(23，2)， 故点 A3的坐标为(0，4)，点 A4的坐标为(0，8)， 此类推便可求出点 An的坐标为(0，2n 1) 9(0，1 3)(11，11)(n，n)解析 从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，顶 点依次用 A1，A2，A3，A4，表示， 其中 x 轴与边 A1A2，边 A1A2与 A4A5，A4A5与 A7A8，均相距一个单位长度， A 1A22，A1E1，A1(1，1)， EA 3 3，则 OA3 31， 则顶点 A 3 的坐标为：(0，1 3) 同理可得出：A 4(2，2)，A7(3，3)， 4232，7332，10432，311132， A 31 的坐标为：(11，11) ， A 3n2(n 为正整数)的坐标为(n，n) 32 10.2解析 当 x1 时，P 1 的纵坐标为 4， 2n 当 x2 时，P 2 的纵坐标为 2， 4 当 x3 时，P 3 的纵坐标为 ， 3 当 x4 时，P 4 的纵坐标为 1， 4 当 x5 时，P 5 的纵坐标为 ， 5 1 则 S1 1(42)121； 2 1412 S2 1(2 ) 1 ； 2333 14122 S3 1( 1) ； 23634 22223 S1S2S3211 2 ； 33442 14122 S4 1(1 ) ； 251045 22 Sn1 ； n1n S1S2S3S4Sn1 22222 211 334n1n 2 2 . n 32 故答案为 ，2 . 2n 11(0，4)( 22， 22)(m 为正奇数)或( 22n 1， 22n 1)(m 为 0 和正偶数)解 析 根据点 P0坐标可求出 OP0，然后分别求出OP1，OP2，OP3，OP4，OPn，再根据点 P2在 y 轴负半 轴上写出 P2的坐标即可；分 n 是正奇数和 n 是 0 和正偶数两种情况确定出点Pn所在的象限，然后根据等 腰直角三角形的性质写出坐标即可， P0的坐标为(1，0)，OP01. OP12，OP22222，OP322223，OP423224，OPn2n 122n. 每次旋转 45，点 P0在 x 轴正半轴上， 点 P2在 y 轴负半轴上点P2的坐标为(0，4) OPn为所在象限的平分线， m 为正奇数时，点 Pn在第二象限， m 为 0 和正偶数时，点 Pn在第四象限 n1n1 综上所述，点 Pn的坐标为( 22n 1， 22n 1)(m 为正奇数)， ( 22n 1， 22n 1)(m 为 0 和正偶数) 12(4，0)2A 或 C解析 点 A(1，0)，B(2，0)， OA1，OB2， 正六边形的边长为：AB1， 当点 D 第一次落在 x 轴上时，OD2114， 此时点 D 的坐标为：(4，0) 如图所示：当滚动到 ADx 轴时，E，F，A 的对应点分别是 E，F，A，连接 AD，过点 F，E作 FGAD，EHAD，垂足分别为 G，H， 六边形 ABCDEF 是正六边形， AFG30， 11 AG AF ， 22 1 同理可得：HD ， 2 AD2， 在运动过程中，点 A 的纵坐标的最大值是 2. 正六边形滚动 6 个单位长度时正好滚动一周， A 点从点(1，0)开始到点(2014， 3)，正六边形正好滚动 2013 个单位长度 20133353， 6 恰好滚动 335 周多 3 个，A点的纵坐标为 3， 会过点(2014， 3)的是点 A， 当点 E 在(2014，0)位置时， 则点 F 在(2015，0)位置，此时 C 点在 E 点的正上方，CE 3，所以 C 点也符合题意 1n2 13.解析 A 1，A2，A3， A n，An1 是 x 轴上的点，且 OA 1A1A2A2A3 A nAn16 4n2 1，分别过点 A 1，A2，A3， A n，An1 作 x轴的垂线交直线 yx于点 B 1，B2， B n，Bn1， 依题意得：B 1(1，1)，B2(2，2)，B3(3，3)， B n(n，n) A 1B1A2B2， A 1B1P1B2A2P1， A1B1 1 ， A 2B2 2 A 1B1P1 与A 2B2P1 对应高的比为 12. A 1A21， 1 A 1B1 边上的高为 ， 3 111 SA 1B1P1 1 ，326 29 同理可得：S