数学人教版九年级上册《垂直于弦的直径》【五和中学.ppt

垂直于弦的直径,100多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,创设情景,通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,活动：,圆的对称性(一),1、圆是轴对称图形吗？,2、如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？,课堂探究,由操作实验知：,圆是轴对称图形。,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。,探究结论,AM=BM,2、你能发现图中有哪些相等的线段和相等的弧?,1、右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,探究三,AB是O的一条弦.作直径CD,使CDAB,垂足为M.,你能不能用逻辑思维给它证明一下？,理由:,连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,垂径定理,定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧,CDAB,如图CD是直径,AM=BM,题设,结论,（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,（1）过圆心（2）垂直于弦,知识点,垂径定理推论,推论平分弦(弦不是直径)的直径垂直弦,并且平分弦所的两条弧,AM=BM,如图CD是直径,AMBM,题设,结论,（2）垂直于弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,（1）过圆心（3）平分弦,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,O,A,B,M,N,一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。,C,D,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。,注意,“知二推三”(1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(1)(3)时,应对另一条弦增加”不是直径”的限制.,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,不是,注意：定理中的两个条件过圆心（直径），垂直于弦缺一不可！,垂径定理的几个基本图形：,1.如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,课堂练习,解：,答：O的半径为5cm.,活动,在RtAOE中,在O中，弦AB的长为8cm，OEAB，垂足为E，EC长为2cm，求O的半径。,变式练习,解：,答：O的半径为5cm.,活动,在RtAOE中,设半径为R，则OER-,R（R-）+,RR-R+,R,方法提炼：涉及圆中半径、弦长、圆心到弦距离的计算时，常通过作半径，作垂线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理解决。,C,构造Rt的“七字口诀”：半径半弦弦心距,在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以垂径定理和勾股定理求出其它两个量.,d+h=r,启发,已知：如图，直径CDAB，垂足为E.若圆的半径为R，弦AB的长为a，垂径OE的长为d，拱高DE的长为h，你能得到什么结论？,(2)r2=d2+,100多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,垂径定理的应用,37m,7.23m,A,B,O,C,D,r,r-7.23,18.5,解得r=27.3（m）,例，已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。AECEBEDE即ACBD,注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法,垂径定理的应用,你学到了什么？,归纳小结：,课堂小结,本节课我们主要学习了,、圆的对称性,、垂径定理与推论及应用,如图CD是直径,CDAB,AM=BM,垂径定理三角形,d+h=r,r,有哪些等量关系？,在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量,经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件,4解决有关弦的问题,作业设计,、导学案课外习题,、证明垂径定理的推论,如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？,思考探索：,垂径定理及其推论,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并