14 轨迹与作图教师

12教育2014春季初一数学强化班进度一14.轨迹与作图 四平路校区：65107076；浦东校区：6886997214.轨迹与作图【知识点】1 点的轨迹：符合给定条件的所有点的集合叫做点的轨迹.2 到定点的距离等于定长的点的轨迹：是以这个定点为圆心、定长为半径的圆.3 和线段两个端点距离相等的点的轨迹：是这条线段的垂直平分线（中垂线）.4 在一个角的内部（含顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹：是这个角的平分线.5 交轨法作图：先找出符合一个作图要求的点的轨迹，再找出符合另一个作图要求的点的轨迹，然后得到这两个轨迹的交点.这样的几何作图法叫做交轨法.【趣闻尺规作图的来历】 古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。他们在大量的画图经历中感觉到，似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，因而，古希腊人就规定，作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。【趣闻古代几何作图三大难题】漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来。到了大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题：1. 三等分角问题：将任一个给定的角三等分。2. 立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。3. 化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。这就是著名的古代几何作图三大难题，它们在几何原本问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。同学们可以亲自动手试试看，这三个看似简单的问题难得倒你吗？【例题与练习】1 作图并说明符合下列条件的点的轨迹：（1） 在AOB内部并且到边AO与边BO距离相等的点的轨迹.（2） 已知AOB，作出到直线AO与直线BO距离相等的点的轨迹.（3） 经过已知点P和Q的圆的圆心的轨迹.（4） 与已知直线AB的距离为3cm的点的轨迹.解：（1）AOB的角平分线.（2）AOB及其邻补角的角平分线所在直线.（3）PQ的垂直平分线.（4）平行AB且与AB的距离为3厘米的两条平行直线.2 作图并说明符合下列条件的点的轨迹：（1） 底边为定长的等腰三角形的顶角定点的轨迹.（2） 经过定点A且半径为1厘米的圆的圆心的轨迹.（3） 已知两个定点A、B的距离为3厘米，这时到A、B的距离之和为3厘米的点的轨迹.（4） 三角形的一边BC固定，这条边上的中线长为m的三角形ABC的顶点A的轨迹.解：（1）底边的中垂线（垂足除外）.（2）以点A为圆心，半径为1厘米的圆.（3）线段AB.（4）以BC中点为圆心，以m为半径的圆（直线BC与圆的交点除外）.3 已知：AOB和AOB内一点C. 求作：点P，使PC=PO, 且点P到AOB的两边OA、OB的距离相等.解：（1）连结OC，作OC的垂直平分线.（2）作AOB的角平分线.（3）交点P为所求.4 已知：如上右图线段a、h, 求作等腰三角形，使其底边长为a, 底上的高为h. 求作：ABC，使AB=AC, 且BC=a, 高AD=h. 解：（1）作线段BC=a, （2）做线段BC的垂直平分线MN交BC于点D， （3）在MN上截取DA=h, （4）分别连结AB,AC, 则三角形ABC就是所求的的等腰三角形.5 已知AOB和点E、F, 求作点P, 使点P到OA、OB的距离相等，且PE=PF.解：（1）连结EF，作EF的垂直平分线， （2）作AOB的角平分线， （3）交点P即为所求.6 已知MON及线段a, 点G在ON上，求作点P, 使点P到OM、ON的距离相等， 且PG=a. 解：（1）作MON的角平分线OA， （2）以点G为圆心，a长为半径画圆交OA于点P, （3）点P即为所求.7 作图题：（不要求写作法，但保留作图痕迹） 已知：如图，在ABC中，C=90，BC=a, AB= c. 求作：ABC.解：（1）作BC=a， （2）过点C作BC的垂线CD, （3）以点B为圆心，c长为半径画圆，交CD于点A, （4）连结AB 则三角形ABC即为所求.8 已知：如图已知AB/CD, 直线EF交AB于E, 交CD于F.求作：点P使P到直线AB, 到直线CD, 到直线EF的距离均相等.解：（1）作的角平分线EG， （2）作的角平分线FH， （3）EG与FH交于点P， 则点P即为所求.9. 如图，在ABC中，AB=AC,D是AC上的一点，E是AB延长线上的一点，连结DE,交BC于F,DF=EF.求证：DC=BE.解：作DG/AB交BC于点G， 【课后作业】1. 已知线段a, b，求作等腰三角形，使其底边长为a, 腰长为b. 解：（1）作线段BC=a, （2）分别以点B、点C为圆心，以b长为半径作弧，两弧交于点A, （3）分别连结AB,AC,则三角形ABC就是所求的等腰三角形.2. 如图，在直线l上，求作点P，使得点P到线段MN端点M,N距离相等。解：作MN的垂直平分线，与l的交点即为所求点P. 【教师备用】1. 要在某天然气管道MN上修建一个泵站，分别向A, B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？解；（1）作点A（或B）关于MN的对称点， （2）连结B交MN于点C, 点C即为所求泵站的位置.2. 已知：在ABC中，AB= a, BC=c