06一元二次方程根的判别式2教师

第六讲 一元二次方程根的判别式（2）【有理根】 实系数方程有实数根的充分必要条件是： 有理系数方程有有理数根的判定是：是完全平方式，反之亦然。 时，二次方程是完全平方式.1 方程的根的判别式的值是4，则求这个方程的根.解：，或，.2 当不小于时，方程的根的情况是 .解：有两个实数根。，因为，所以.3 关于的方程没有实数根，则的最小整数值为 .解：3【注意含有参数取值范围】4 已知为整数，有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根，求的值.解：有两个不相等相同的根，.有两个相等相同的根，从而.没有实数根，从而，所以，得，得所以.由已知条件是整数，所以；代入，得.5 已知方程有实数根，求的取值范围。解：（1）当即时，原方程变形为1=0，此时方程无解，故。（2）当时，方程为二次方程，此时有且，解得或，而综上可知，当原方程有实数根时，或。6 如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实数根的个数为 .解：1或2.第一个方程没有实根，所以，设其判别式为，解得。当时，第二个方程变为，有一个实根；当时，该方程是一元二次方程，设其判别式为，.又，故，于是该方程有两个不等实根。7 对于方程，如果方程实根的个数恰为三个，则 .（相等的根视为一个）解：因，故原方程可化为.因此方程恰有3个实根，所以必有一个实根为（否则必有4个实根），故，故.8 当在什么范围内取值时，方程有且只有相异的两实数根？（相等的根视为一个）解：（1）当时，原方程化为或，所以方程有两个相异的实数根，方程必无实数根，方程的判别式，得时，方程有且只有两个相异的实数根；（2）当时，原方程变为，有两个相异实数根：，；（3）当时，无实数根。所以的范围是或.9 已知为整数，有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根，求的值.解：有两个不相等相同的根，.有两个相等相同的根，从而.没有实数根，从而，所以，得，得所以.由已知条件是整数，所以；代入，得.10 已知三个关于的方程、和，若其中至少有两个方程有实数根，求实数的范围.解：或方程的判别式；方程的判别式；方程的判别式.当时，； 时，；当时，；当，.所以或时，至少有两个方程有实数根。11 是有理数，当何值时，方程的根为有理数.解：原方程的判别式为，要使方程有有理根，只需使为的完全平方式。若使，为的完全平方式，只需它的判别式，故.12 求方程的实数解。解：。，从而，。1 证明：当取任何实数时，一元二次方程有两个不相等的实数根.解：，因为，所以有两个不相等的实根.2 已知方程无实数根，则的取值范围是多少.解：.2 已知是三角形的三边的长度，方程有两个相等的实数根.求证：是等腰三角形.【完全平方式的判定】3 如果是完全平方式，求的值。解法一：是完全平方式 方程有两个相等的实数根则，即，解得解法二：是完全平方式 则，解得4 如果是完全平方式，求的值。解法一：是完全平方式 方程有两个相等的实数根则，即，解得解法二：是完全平方式 则，解得【综合】5 已知关于的方程有实数根。求的取值范围。解：设，则，当时，无解，所以。原方程可化为()，由于二次项系数为一个代数式，所以分两种情况考虑：（1）当，即时，原方程化为一次方程：或，解得或，这时原方程有实数根；（2）当，即时，原方程为二次方程，因为方程有实数根，所以，即，解得当时，方程()有