15 比例线段2教师2016春季 初二数学培优进度一

比例线段（比例线段（2 2）1/6 第十五讲 比例线段（2） 比例中项：如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项 即：如果:a bb c（或:b ac b） ，那么 b 叫做 a 和 c 的比例中项，这时 2 bac 黄金分割： 线段上一点把它分成两条线段，其中较长的线段是较短线段与原线段的比例中项，这种分割线段 的方法叫做黄金分割 如下图，点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB（APPB）两段，且 AP 是 PB 和 AB 的比例中项， 那么称这种分割为黄金分割，点 P 称为线段 AB 的黄金分割点 我们有公式： （1） 51 2 较长全（2） 35 2 较短全 也即： （1） 51 2 PAAB （2） 35 2 PBAB 【注】 51 2 称为黄金分割数，黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值 0618 任 意一条线段的黄金分割点都有两个 黄金三角形：顶角为 36的等腰三角形称为黄金三角形 三角形重心：三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心 重心性质定理：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍 比例线段（比例线段（2 2）2/6 【例题 1】（1）长为 4cm 和 9cm 的线段的比例中项是 6cm ； （2）6 和 8 的比例中项是4 3 【例题 2】已知线段, ,a b c满足:1:2a b ，且线段 b 是线段 a，c 的比例中项，则:a c= 【例题 3】已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，被分得的较长的线段 PB=4cm，那么较短的线段 PA=25 1 cm（），AB=25+1 cm（） 【例题 4】已知点 P 黄金分割线段 AB，且 AB=1，则 PA= 【例题 5】RtABC 的重心为 G，且斜边 AB=15cm，则 CG 的长为 【例题 6】ABC 的重心为 G，过点 G 作 BC 的平行线交 AB 于 D若边 BC 的长为 9cm，则 DG= 【例题 7】如图，ACB=90，CDAB 于 D，中线 BG、CH 相交于点 P，PQAB 于 Q， 若 AB=5，AC=4，求 PQ 的长 解： 0 90ACB，5AB ，4AC 由勾股定理，3BC CDABAB CDAC BC 12 5 CD 中线BG、CH交于点P 1 3 HP HC PQAB/ /PQCD PQHP CDHC 即 1 12 3 5 PQ 4 5 PQ 比例线段（比例线段（2 2）3/6 【例题 8】线段 AB 长为2 3，C 是线段 AB 上一不与端点重合的动点，分别以 AC、BC 为边向 AB 的两侧各作一个等边三角形，如图所示记等边APC 的重心为 1 G，记等边BQC 的重心为 2 G 试证明：无论 C 点如何运动，线段 12 GG的长度始终保持不变 【例题 9】如图，ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，点 P 是BDC 的重心，点 Q 是EBC 的 重心，联接 PQ已知 BC=12cm，试求 PQ 的长 比例线段（比例线段（2 2）4/6 【例题 10】 你会作出线段 AB 的黄金分割点吗？这里告诉你一个作图的方法， 但请你来说明这个作法 的正确性 （1）已知线段 AB，作 CBAB，使 CB= 1 2 AB； （2）联结 AC，在线段 CA 上取 CD=CB； （3）以 A 为圆心、AD 为半径画弧，交线段 AB 于点 P，那么 P 就是线段 AB 的一个黄金分割点 证：设2ABa，则,5BCa ACa 22 2 2 ( 51)35 62 5 (62 5) APaPBa APa AB PBa APAB PB ， 点P就是线段AB的一个黄金分割点 比例线段（比例线段（2 2）5/6 F E C D B A 【作业 1】如图，在ABC 中， 1 2 AF FB ， 3 4 AD DC ，BD、CF 交于 E，求 FE EC 的值 （提示：添平行线构造 A 字形或 8 字形） 答： （提示：添平行线构造 A 字形或 8 字形） （略） ，得 FE EC = 1 2 【作业 2】如图直角梯形 ABCD 中，ABDC，C=90，AB=6，CD=3，AD=5， 点 P 在 AD 上，设 AP=x，四边形 CDPB 面积为 S， （1）求 S 与 x 的函数关系式并指出定义域； （2）当 P 在什么位置时，PB 将梯形分成面积相等的两部分 解： （1）作DEAB于E，PFAB于F / /ABDC， 0 90C 3BECD，3AEABBE， 22 4DEADAE / /PFDE， PFAP DEAD 即 45 PFx 4 5 PFx 1 2 PAB SAB PF 12 5 x，18 ABCD S 梯形 ， 12 18 5 Sx(05)x （2）令 1 2 PABABCD SS ， 12 9 5 x ， 15 4 x ，即 15 4 AP 当 15 4 AP 时， PB将梯形分成面积相等的两部分 比例线段（比例线段（2 2）6/6 1.如图已知 D 是 AC 中点，E、F 三等分 BC，AE、AF 交 BD 于 M、N，求 BMMNND 解：联结DF EF 、三等分BC BEEFFC 又