阮老师双核韦达定理1

第十四讲 韦达定理(1)【一元二次方程根与系数的关系】（韦达定理）设一元二次方程的两根为，则反之，若两数满足，则这两数是方程的两根. 【韦达定理的应用】利用根与系数的关系求解的问题大致有以下几个方面：（1） 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；（2） 已知方程的一个根，求方程的另一个根以及确定方程参数的取值范围；（3） 已知两数，求作以这两数为根的一元二次方程；（4） 当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看成是某个一元二次方程的两根，以便利用根与系数的关系. 【第一类】1. 设方程的两根为，不解方程，求下列各式的值. ， 解：， 34 【注】公式：. 2. 已知，是方程的两个实数根，不解方程，求的值. 解：，是方程的两个实数根 ， 即 ， 3. 若是二次方程的两根，试求的值. 解:是方程的两个根, ， 又由跟与系数的关系，得 ， 【第二类】4. 为何值时，方程的两个根互为相反数？解：，得或. 当时，无解；当时，. . 5. 已知关于的方程的两个实数根的平方和是4，求k的值解：， ， 解得或，当时. 6. 若方程的两根之差为，试求的值. 解：设两根为，则，即，7. 已知方程的两实数根是，同时方程的两实根是，则的值是多少.解：由已知：. 1. 已知如图1，在ABC中，BC边在直线l上，ACBC，且AC=BCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AP与AB所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，给出证明；若不成立，请说明理由【难度】【答案】（1）AP=AB，APBQ；（2）AP=BQ，且AP与BQ垂直；（3）成立【解析】（1）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是APBQ，（2）AP=BQ，且AP与BQ垂直；理由如下：延长BQ交AP于G，由（1）知，EPF=45，ACP=90，PQC=45=QPC，CQ=CP，在BCQ和ACP中，BC=AC，BCQ=ACP，CQ=CPBCQACP（SAS），AP=BQ，CBQ=PAC，ACB=90，CBQ+BQC=90，CQB=AQG，AQG+PAC=90，AGQ=180-90=90，APBQ，（3）成立，理由如下：如图，EPF=45，CPQ=45，又ACBC，CQP=CPQ=45，CQ=CP，在RtBCQ和RtACP中，BC=AC，BCQ=ACP，CQ=CP，RtBCQRtACP（SAS），BQ=AP，如图3，延长QB交AP于点N，则PBN=CBQ，RtBCQRtACP，BQC=APC，在RtBCQ中，BQC+CBQ=90，APC+PBN=90，PNB=90，QBAP【总结】本题主要考察了等腰三角形再平移的问题，通过全等三角形的性质解决边的关系，题目较复杂【教师备用】【第一类】【第二类】1. 已知、是关于的方程的两个根，且，则的值是 .解：设为、是方程的根， ，而，所以，解得.2. 设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则 .解：2000.3. 已知方程的两根的绝对值相等，则这个方程的根是 .解：设方程两根为、，则可得到，则根与系数关系，可得，所以，所以或（无解）。，此时，即两根为.4. 已知方程的两根之差为8，两根的算术平均数是5，则方程的根是 .解：设方程的两根为、，不妨设。由已知，可解得，.由韦达定理得，即，代入方程，并整理得，从而可得，.8. 如果方程的三个根，可作为一个三角形的三边长，求实数的取值范围. 解：由题意原方程可化为：，则，设方程 两根分别为，由题意得，解得且，综上可知，的取值范围为. 9. 已知方程的两根为、，试求的最小值. 解：由题意得，原方程有解 解得 由跟与系数的关系，得， ，当时