五 虚功原理和结构的位移计算PPT课件

,结构力学(StructuralMechanics),授课人：王新杰环境学院土木工程系,10.06.2020,.,2,第五章,结构的位移计算(DisplacementCalculationofStructure),10.06.2020,.,3,目录(contents),5-1结构位移计算概述5-2结构位移计算的一般公式5-3荷载作用下的位移计算5-4荷载作用下的位移计算举例5-5图乘法5-6温度作用时的位移计算5-7互等定理,10.06.2020,.,4,基本要求,10.06.2020,.,5,5-1结构位移计算概述,1.结构的位移,结构在外部因素作用下，将产生尺寸形状的改变，这种改变称为变形；由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。,10.06.2020,.,6,位移产生的原因：,1)载荷作用,2)温度作用和材料胀缩,3)支座沉降和制造误差,结构各点产生位移时，结构内部是否也同时产生应变呢？,目的：1）验算结构的刚度；2）超静定结构的内力分析打下基础。,10.06.2020,.,7,有位移无应变,刚体位移和变形位移：,有位移有应变,(b)变形位移,10.06.2020,.,8,(1)线位移水平线位移：H铅直线位移：V(2)角位移：(3)位移有“相对位移”与“绝对位移”之分。(4)上述各种位移统称为“广义位移”。与广义位移相对应的力称为广义力。,位移的种类：,第一种分类方法:,第二种分类方法:,(1)刚体位移；(2)变形位移。,10.06.2020,.,9,2.推导位移计算一般公式的基本思路,第一步：讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。(计算刚体位移）第二步：讨论静定结构由于局部变形而引起的位移计算问题。(计算变形位移）第三步：讨论静定结构由于整体变形而引起的位移计算问题。(计算总位移）,基本思路：化整为零和积零为整。,10.06.2020,.,10,3.应用虚力原理求刚体体系的位移-单位荷载法,解：根据平衡条件，可求出支座A的反力：,虚功方程：,首先要说明一点：在静定结构中，支座移动时并不引起内力也不引起应变，故可用刚体体系虚功原理来求解。（虚设单位力，求位移）,即,10.06.2020,.,11,例5-1如图所示支座A有给定的竖向上位移cA，求C,(b),解：根据平衡条件，可求出支座A的反力：,虚功方程：,即,4.支座移动时静定结构的位移计算,10.06.2020,.,12,归纳起来，当支座有结定位移cK时，任意静定结构的位移可用虚功原理求出，共计算步骤如下：,（1）沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力。,（2）令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程：,（3）由虚功方程，解出拟求位移,10.06.2020,.,13,5-2结构位移计算的一般公式,计算变形体体系的位移，有两种途径：,根据刚体体系的虚功原理，导出变形体体系的虚功原理，再导出变形体体系的位移公式。应用刚体体系的虚功原理导出局部变形时的位移公式，然后应用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。,这里选择第二种。,10.06.2020,.,14,1.局部变形时的位移公式,设悬臂梁在C点附近的微元段CD有局部变形外，结构其他部分没有变形。,微元段CD局部变形包括三部：,10.06.2020,.,15,三种相对应的位移：,10.06.2020,.,16,应用刚体体系的虚功原理,取DA段为隔离体，列虚功方程：,即,亦有,10.06.2020,.,17,2.结构位移计算的一般公式,考虑多个杆件,考虑支座位移,dx,10.06.2020,.,18,式(5-15)是一个普遍性公式，它的普遍性表现在下列几个方面：从变形类型来看，它既可以考虑弯曲变形，也可以考虑拉伸或剪切变形。从变形因素来看，它既可以考虑荷载引起的位移，也可以考虑温度或支座移动引起的位移。从结构类型来看，它可用于梁、刚架、桁架、拱等各类型式的结构，也可用于静定或超静定结构。从材料性质来看，它可用于弹性材料，也可用于非弹性材料。,（5-15）,10.06.2020,.,19,（5-15）,（5-15）式还有一层物理意义：,变形体虚功方程,=,10.06.2020,.,20,3.结构位移计算的一般步骤,在某点沿拟求位移的方向虚设相应的单位荷载。在单位荷载作用下，根据平衡条件求出结构内力、和支座反力。最后根据公式（5-15）可求出位移。,（5-15）,10.06.2020,.,21,4.广义位移的计算,例如，如图所示为一简支梁，在弯曲变形时截面A产生顺时针转角A，截面B产生反时针转角B，以表示其相对转角。,10.06.2020,.,22,广义位移和广义单位荷载示例,10.06.2020,.,23,10.06.2020,.,24,（5-15）,10.06.2020,.,25,根据实际载荷，求得截面弯矩、轴力、剪力,5-3荷载作用下的位移计算,1.计算步骤,10.06.2020,.,26,荷载作用下弹性位移的一般公式,10.06.2020,.,27,荷载作用下静定结构位移具体计算的步骤：,（1）在某点沿拟求位移的方向虚设相应的单位荷载。（2）在单位荷载作用下，根据平衡条件求出结构内力、和支座反力。（3）根据实际载荷，求得截面弯矩、轴力、剪力（4）最后根据如下公式可求出位移。,10.06.2020,.,28,2.各类结构的位移公式,1）梁和刚架,2）桁架,3）桁梁混合结构,4）拱,10.06.2020,.,29,3.截面平均切应变和系数,10.06.2020,.,30,而,这样,又,而,故,(k为一常数,只与截面形状有关),10.06.2020,.,31,切应变的截面形状系数k,10.06.2020,.,32,荷载作用下弹性位移的一般公式为,正负号规定：,5-4荷载作用下的位移计算举例,10.06.2020,.,33,例5-3试求图(a)所示悬臂梁在A端的竖向位移，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。梁的截面为矩形。,实际荷载作用下的内力如图(a)虚设单位荷载作用下的内力如图(b),总位移,设=1/3，E/G=8/3I/A=h2/12,1.梁的位移计算,10.06.2020,.,34,(a)实际状态,(b)虚设状态,AC段,CB段,1）列出两种状态的内力方程：,10.06.2020,.,35,2)将上面各式代入位移公式分段积分计算,CB段,10.06.2020,.,36,CB段,设为矩形截面k=1.2,10.06.2020,.,37,3）讨论,比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。,设材料的泊松比,由材料力学公式。,10.06.2020,.,38,2.静定平面桁架在载荷作用下的位移计算,位移公式：,考虑支座位移：,10.06.2020,.,39,例5-5.计算桁架结点C的竖向位移，设各杆EA都相同。,分析内力：本问题因为桁架与载荷均对称，所有只需计算一半桁架的内力。,解：如图虚设单位力P=1,1）计算结构在外荷载作用下各杆的内力。,利用体系整体平衡关系：,由A点的Y方向平衡得：,10.06.2020,.,40,利用三角形关系,(压力),同理,A点X方向平衡得：,(拉力),D点X方向平衡：,(压力),显然DC杆的杆力为零。,10.06.2020,.,41,2）计算结构在单位荷载P=1作用下各杆的内力。,10.06.2020,.,42,为正值表示，C处的位移与虚设单位力的方向相同。,由位移公式：,3）计算位移,10.06.2020,.,43,例5-6图(a)所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧AB的圆心角为，半径为R。试求B点的竖向位移。,解：虚设荷载如图(b),图(a)中,图(b)中,2.曲杆的位移计算,10.06.2020,.,44,设h/R=1/10，E/G=8/3，I/A=h2/12，k=1.2,如果：,（h为截面高度）,计算结果表明，在给定的条件下，轴力和剪力所引起的位移可以忽略不记。,10.06.2020,.,45,例5-7试求图(a)所示简支梁两端截面A、B的相对转角。,解：虚设力系如图(b),实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c),10.06.2020,.,46,4.刚架在载荷作用下的位移计算,刚架的位移，主要由弯矩引起，轴力和剪力的影响均较小，可忽略不计。,位移公式：,例5-8，如图计算刚架C端的水平位移和角位移，已知EI为常数。,10.06.2020,.,47,解：在载荷作用下，,刚架的图如图所示，,10.06.2020,.,48,1）求C点的水平位移，可在C点加一单位力。,得图：,代入位移公式，得：,10.06.2020,.,49,2）求C点的角位移，可在C点加一单位弯矩。,得图：,代入位移公式，得：,10.06.2020,.,50,5-5图乘法,静定梁和刚架的位移计算：,如果杆轴符合下列条件时：(1)杆轴为直线时；(2)EI常数；,需先计算各段、，计算较为复杂。,(3)与两个弯矩图中至少有一个是直线图形。则可用图乘法代替积分运算。,1.图乘法及其应用条件,图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。,10.06.2020,.,51,(1)因为是直杆，所以可用dx代替ds。,(2)因为EI是常数，所以EI可提到积分号外。,(3)直线变化，故有,10.06.2020,.,52,所以得到：,注意事项：(1)应用条件：杆件应是等截面杆，两个图形中应有一个是直线，取自直线图中。(2)正负号规则：与在杆的同一侧，乘积取正；反之取负。,积分化为：面积相应形心竖标,10.06.2020,.,53,2.几种常见图形的面积和形心位置,10.06.2020,.,54,10.06.2020,.,55,3.应用图乘法时的几个具体问题,(1)yo必须取自直线图形。,(2)如果一个图形是曲线，另一个图形是折线，则应分段计算。,10.06.2020,.,56,(3)图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘。,10.06.2020,.,57,(4)当图乘面积中有正有负时，必须分别图乘。,（图乘面积不能同时包含正负面积）,10.06.2020,.,58,例5-9：图乘法解如图所示简支梁在均布荷载q作用下的B端转角。,解：虚设单位力,分别作出和：,有直线，可利用图乘法，则：,10.06.2020,.,59,例5-10：如图所示为悬臂梁，在A点作用荷载P，求中点C的挠度。,解：,10.06.2020,.,60,例5-11：如图所示为一预应力钢筋混凝上墙板起吊过程中的计算图。已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土容重为25000Nm3。A和B为起吊点。求C点的挠度。,解：,板自重：,截面惯性矩：,混凝土弹性模量：,10.06.2020,.,61,10.06.2020,.,62,例5-12：求图示刚架结点B的水平位移，设各杆为矩形截面，截面尺寸为bh，惯性矩I=bh3/12，只考虑弯曲变形的影响。,解：,10.06.2020,.,63,5-6温度作用时的位移计算,静定结构温度改变并不引起内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。,10.06.2020,.,64,10.06.2020,.,65,轴线温度：,上下边缘的温差：,伸长应变：,曲率：,线膨胀系数,温度引起的位移计算公式：,10.06.2020,.,66,若沿每一杆件的全长为常数，则：,10.06.2020,.,67,例5-13：试求图a所示刚架C点的水平位移。已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上升10C，刚架各杆的截面相同且与形心轴对称，线膨胀系数为。,解：在C点沿水平方向加一单位力P1。,10.06.2020,.,68,作出相应的、图。并有：,轴向上的温度上升值。,10.06.2020,.,69,式中h为截面高度。所得结果为正值，表示C点位移与单位力方向相同。,杆件由于温度改变而发生的弯曲变形，该变形与由于所产生的弯曲变形方向相同(如图虚线所示)，,10.06.2020,.,70,荷载引起的变形位移：,温度引起的变形位移：,10.06.2020,.,71,应用条件：材料处于弹性阶段，应力与应变成正比。结构变形很小，不影响力的作用。,状态I的力系在状态的位移和变形上作虚功，可写出虚功方程为,状态的力系在状态I的位移和变形上作虚功，可写出虚功方程为,显然,即,5-9互等定理,1.功的互等定理,10.06.2020,.,72,如图(a)、(b)，由功的互等定理,令,或,称为位移影响系数,可得,即,2.位移的互等定理,10.06.2020,.,73,即,位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数，等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数。,10.06.2020,.,74,3.反力的互等定理,由功的互等定理：,在线性变形体系中，反力与位移的比值是一个常数，记为，即：,反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的位移影响系数，等于由位移c2所引起的与位移c1相应的位移影响系数。,10.06.2020,.,75,6-7-4位移反力的互等定理,由功的互等定理：,反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数，在绝对值上等于由荷载P1所引起的与位移c2相应的反力影响系数。,即,令,10.06.2020,.,76,1.位移计算的一般公式及灵活应用,要虚设力系虚力法：以单位荷载为标志单位荷载法,：拟求的广义位移，FP=1：与共轭的单位广义荷载。,2.变形体虚功方程的两类形式,虚设力系虚力方程：求位移虚设位移和变形形态虚位移方程：求支座反