周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第八章.ppt

1,量子力学,2,8.1朗道(Landau)能级,8.2阿哈罗诺夫玻姆(Aharonov-Bohm)效应,8.3贝利(Berry)相位,第八章量子力学若干进展,3,第八章量子力学若干进展,定态薛定谔方程,考虑电子在均匀外磁场中运动。设外磁场沿z方向，取朗道规范（属于库仑规范）,即,（或）,显然满足,8.1朗道(Landau)能级,4,体系的哈密顿,代入定态薛定谔方程，整理得,因为，取力学量完全集，其共同本征函数取为,5,定义：电子回旋角频率,拉莫尔角频率,则定态薛定谔方程化简为,此式即为一维谐振子能量本征值方程（平衡位置在处）。可利用一维谐振子能量本征值方程的解直接写出该体系的能量本征值和能量本征函数。,6,能量本征函数,能量本征值,该能量E称之为朗道能级,7,（1）朗道能级的简并度,因能量本征函数含y0，而能量本征值E不含y0，所以每个朗道能级的简并度G等于y0可能取值的数目。,设二维电子气局限在长Lx、宽Ly气的矩形内，由箱归一化条件，x方向周期性边界条件,由于,故,8,y0是允许的y0的间距，故,其中称为元磁通量子。可见，朗道能级简并度即为外磁场中所含元磁通量子数目。,9,显见磁场对体系能量的贡献,由能量本征值公式,其中,自由带电粒子在磁场中运动相应的磁矩小于零，具有抗磁性，称之为朗道抗磁性，这是自由带电粒子在磁场中运动的一种量子效应。,（2）Landau抗磁性,10,量子力学揭示了微观粒子具有波动性，因而波函数相位是一重要物理量。量子力学中（波函数的模方）振幅、相位均具有独立的可观测的效应。首先通过带电粒子在磁场中运动阐明波函数相位重要性（具有可观测的效应）的即是阿哈罗诺夫-玻姆效应，简称A-B效应。,阿哈罗诺夫玻姆实验（1959年）,8.2阿哈罗诺夫-玻姆(Aharonov-Bohm)效应,11,采用柱坐标系（r,z),取磁矢势,R为螺线管半径。管内外磁场的分布为,注：管外磁场为零，但磁矢势不为零。,12,解得,定态薛定谔方程,其中磁矢势和势能均与时间t无关。,式中满足时的薛定谔方程,验证如下：,13,因为,代入薛定谔方程，得,14,故薛定谔方程的解为,屏上一点，电子波函数应为经由P1和P2到达的两波函数的线性叠加，即,与无关的相位含在和中。,15,实验中,电子在螺线管外运动时磁场,但磁矢势、磁通量m0。从经典物理来看,电子没有受到洛伦兹力的作用，磁矢势不具有实质性的物理意义。而上述量子力学的推导证明了磁矢势可将无磁场存在时的波函数的相位进行调制，在屏上会显示m（或）引起的干涉条纹，这表明矢势是具有实质性的物理意义的。这是A-B效应重要意义之所在。,16,体系满足的含时薛定谔方程,设体系的哈密顿量是k维含时间变量的函数,一般情况可以是时间t的慢变函数，且满足绝热近似条件,于是可以忽略量子态m到n之间的跃迁。,8.3贝利(Berry)相位,17,本征矢量满足正交归一化条件,若参量R与时间无关，能量本征值方程为,动力学相位,根据态叠加原理,若参量R随时间缓变，对于某一瞬时t,则瞬时能量本征值方程为,18,代入含时薛定谔方程，有,因,则上式化简为,左乘,利用正交归一化条件有,19,采用绝热近似条件,即,前式简化为,积分可得,其中初始条件,正交归一化条件对时间求导,即有,20,由,可知式中指数内被积函数为纯虚数,记为,其中为实数.,故在绝热近似下,含时薛定谔方程的解,21,讨论:,(1)贝利相位(1984年),由,当式中积分路径是参数空间的闭合路径C时,则,引入空间的矢势,22,（C)称为贝利相位,是可观测量，且具有规范不变性。,(2)参数空间的“磁场强度”,称为参数空间的“磁场强度”。,23,因“磁场强度”为实数，而,所以是纯虚数，则,式中n=m项贡献为0。因为当n=m时,由两边求梯度，得,24,所以,由瞬时能量本征值方程,取梯度，得,25,令nm,则有,左乘,取内积,当nm时,即得,由于是厄米算符,26,因而,代入“磁场强度”表达式，得,27,解能量本征值方程,即有,解得能量本征值,28,由泡利矩阵性质,其中，设磁场沿z轴方向，且t=0时瞬时本征态为,即自旋与方向相反（）,所以,因,则有,29,故有,将此结果推广到一般情况,有,同理,当初态为时,有,30,代入贝利相位表达式,得,是闭合曲线C对参数空间原点(R=0)所张立