第五章 灰色预测法.ppt

第五章灰色预测法,预测与决策技术,主讲教师,李时,1灰色预测理论,一、灰色预测概述灰色预测法是近年来发展起来的一种新方法，在预测领域发挥着越来越重要的作用。“灰色”一词来源于控制理论。在控制论中用颜色的深浅表示信息量的多少，如黑色表示信息全无，白色表示信息完全，灰色则表示信息不完全。一个系统内，如果一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，则称之为灰色系统，其重要特征是系统内各因素间不具有确定的关系。社会系统、经济系统、生态系统等都可看作灰色系统。比如，产销系统，在计划经济体制下，产品由商业部门包销，价格由国家物价部门制定，基本不变，产量和销售产值之间存在确定的对应关系，生产和销售系统的结构都是明确的，这时的产销系统可称之为白色系统。而社会主义市场经济条件下的产销系统便不再有上述确定的对应关系了，企业要根据市场信息来决定生产，产销不对路，生产出来的产品便无法实现销售价值；市场价格又是多变的，获得完备的市场信息和价格信息对企业来讲，几乎是不可能的。此时的产销系统便是一个灰色系统。,灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统，即灰色系统进行预测。尽管灰色系统表象复杂，数据散乱，信息不充分，但作为一个系统，必然有其整体功能和潜在的规律，必然是有序的。灰色预测法把影响系统变化的随机变量看作是在一定范围内变化的灰色量，通过对原始数据的生成处理，生成具有较强规律性的生成序列，来寻找系统变动的内在规律，进而建立相应的微分方程，解得预测事物未来发展状况的预测模型。已有的预测方法，大多依据过去的大量数据，按照统计方法分析其规律，这样不仅受数据量的限制，而且要作出某种假定，准确程度不高。而灰色预测法不需要任何假定，也不必寻找随机变量的概率分布和统计特征，所需数据也不多。这就突破了概率统计法的局限性，便于从系统自身挖掘信息并充分利用信息。灰色预测法既可用于宏观系统，也可用于微观系统；既可用于短期预测，也可用于长期预测。灰色预测可分为：灰色时间序列预测；畸（灾）变预测；波形预测（也称拓扑预测）和系统预测四类。我们只介绍灰色时间序列预测和畸变预测。,二、生成序列,为了弱化原始时间序列的随机性，为建立灰色预测模型提供信息，需要对原始时间序列进行数据处理，处理后的序列称为生成序列。常用的数据生成处理法有累加生成、累减生成及邻均值生成等。1）累加生成（白化处理）就是将原始序列通过累加得到生成序列。记原始序列为：,记生成序列为：,式中：,上标（1）表示一次累加生成。,同理可作m次累加生成，有：,对于非负序列，累加次数越多，则随机性弱化越多，当累加次数足够大后，可认为时间序列已由随机序列变为非随机序列了。一般随机序列的累加序列，大多可用指数曲线逼近。,例6-1某县皮棉产量时间序列如下表所列，试求其一次累加生成序列。某县皮棉产量时间序列数据（单位：万担）,2)累减生成就是将原始序列前后两个数据相减，得到累减生成序列。累减生成序列的第t项为：,显然，累减是累加的逆运算。累减可将累加生成序列还原为原始序列。,3)邻均值生成,就是对等时距序列，用相邻数据的平均值构造新的序列。邻均值生成序列的第t项为：,解一次累加生成序列：,三、关联度分析,在客观世界中，有许多因素之间的关系是灰色的，分不清哪些因素关系密切，哪些因素关系不密切，这样就难以找到主要矛盾，发现主要特征、主要关系。关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法。这需要先计算关联系数，而后再计算关联度。1.关联系数设参考系列为：X0=X0(1)，X0(2)，X0(n)被比较序列为：Xi=Xi(1)，Xi(2)，Xi(n)，i1，2，k。记i(t)=X0(t)-Xi(t),t=1,2,n,表示参考系列X0与第i个被比较序列Xi在第t点处的绝对差，则关联系数定义为：,式中，称为分辨率，01，一般取0.5。,注意：对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数前，应先进行初值化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。,2.关联度被比较序列Xi与参考系列X0的关联度定义为二者各点关联系数的平均值，即关联度：,例6-2设参考系列为Y0=8,8.8,16,18,24,32,被比较序列为Y1=10,12.12,19.28,20.25,23.4,30.69,Y2=6,6.35,6.57,6.98,8.35,8.75，试求它们的关联度。解第一步，初值化：Y0各项除以8，Y1各项除以10，Y2各项除以6，得：X0=1,1.1,2,2.25,3,4，X1=1,1.212,1.928,2.025,2.34,3.069，X2=1,1.058,1.095,1.163,1.392,1.458第二步，求绝对差序列:按i(t)=X0(t)-Xi(t)计算,i1，2第三步，求关联系数：i(t)=1.271/(i(t)+1.271),t=16第四步，求关联度：,计算过程：,第三步，求关联系数：,第四步，求关联度：,计算结果表明，序列Y1与Y0的关联度大于序列Y2与Y0的关联度。,2GM(1,1)模型及预测应用,GM是英文GreyModel的缩写。GM(1,1)表示由一阶、一个变量的线性微分方程导出的灰色预测模型。一、GM(1,1)模型的建立设时间序列X(0)有n个观测值：,要求n4。通过累加生成了新序列：,可以证明，原始序列X(0)作一次累加生成的序列X(1)具有近似的指数规律，称为灰指数律。于是把生成序列X(1)视为t的连续函数，可建立如下微分方程：,式中，a称为发展灰数；b称为内生控制灰数。式（8.2.1）实际是一个线性动态模型。参数向量记为B=(a,b)T,可按下述步骤，用最小二乘法加以估计：将式（8.2.1）离散化得如下差分方程：X(1)(t)+aX(1)(t)b而X(1)(t)=X(1)(t)X(1)(t-1)X(0)(t)，于是有X(0)(t)+aX(1)(t)b,X(0)(t)+aX(1)(t)b,用Z(t)取代前式中的X(1)(t)得：X(0)(t)+aZ(t)b此式可视作以X(0)(t)为因变量，Z(t)为自变量的一元线性回归方程。记,由第三章回归预测法中最小二乘法的估计公式，可得参数B的估计值：,将a,b的估计值代入式（8.2.1），有,解此微分方程得,注意到,代入前一式，有,对X(1)(t)作邻均值生成得：,由,即得GM(1,1)灰色预测模型：,再累减还原，则可得原序列的预测值：,另外，需要指出的是：（1）要保证GM(1,1)模型有意义，必须,（2）用于建立GM(1,1)模型的序列必须是非负序列。如果序列含有负值项，可用非负生成方法解决。即取该序列的最小值，设为bi，把bi的绝对值加到序列的各项上去，即可得非负序列。这种方法也称为数据提升法。按提升后的序列建立模型，得预测值后，再减去bi的绝对值，即得原序列的预测值。,二、模型检验,灰色预测模型检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。1）残差检验计算原始序列X(0)(t)与预测序列的绝对误差序列及相对误差序列：,检验标准可按具体问题确定，越小越好。,2）关联度检验检验模型的预测序列与实际序列X(0)的关联程度。按1所述关联度计算方法，算出预测序列与原始实际序列X(0)的关联系数，然后算出关联度r。根据经验，当=0.5时，r0.6便是满意的。,3）后验差检验,计算原始序列的标准差：,计算绝对误差序列标准差：,计算标准差比：C=S2/S1,估计小误差概率：,一般按下表的标准来判定精度等级。,若三项检验都能通过，则可用所建模型进行预测。,三、GM(1,1)模型预测应用,例6-2某县皮棉产量时间序列如例6-1表所列，试建立GM(1,1)预测模型，并预测第8期的皮棉产量。解第一步，构造累加生成序列:X(1)=26.7,58.2,91,125.1,160.9,198.4第二步，构造数据矩阵X和Y:,第三步，估计参数向量B:,第四步，得出预测模型：,第五步，残差检验：,由预测模型,算得：,算得累减生成序列：,算得绝对误差序列：(0)0,0.0976,0.0145,0.1294,0.0631,0.1891相对误差序列:0,0.310,0.044,0.379,0.176,0.504绝对误差均小于0.20；相对误差均小于0.6，说明模型精度较高。,第六步，关联度检验：,min(0)(t)=0,max(0)(t)=0.1891由于只有两个序列比较，故无需寻找第二级最小差及最大差。所以关联系数的计算公式为：,由此算得：,所以，关联度,满足=0.5时的检验准则：r0.6。所以所求得的预测模型是满意的。,第七步，后验差检验,计算原始序列X(0)的标准差：,计算绝对误差序列(0)的标准差：,计算标准差比：C=S2/S10.0715513.7750060.01895,估计小误差概率：由,有好的预测精度（一级）。,第八步，用检验合格的模型进行预测：具体预测公式可归并为：,由此可得第8期皮棉产量预测值：,3畸变预测,对某个时间是否出现异常值，或异常值可能出现在什么时间进行预测，称为畸变预测。因为畸变预测常常与灾害问题相联系，所以也称灾变预测。畸变预测实际上就是对有跳变点的时间序列，预测其跳变点可能出现的时刻。这可以借助于GM(1,1)模型来完成。其它预测法很难预测突变点，而灰色预测法却可以，这是它的一大优势。一、畸变预测的基本思路如果对原始序列：,指定某个定值，并认为X(0)中那些大于（或小于）的值为异常值，则称为畸（灾）变阈值。,按照阈值的界定，将符合条件的数据从中挑出来，组成一个子序列，记为：,称之为畸（灾）变序列。,则记这种对应关系为P(i)=j,并称序列P=P(1)，P(2)，P(n)为畸（灾）变日期序列。,例如,取阈值2，并规定X(0)中大于2的数为异常值，则畸变序列：,畸变日期序列：P=P(1)，P(2)，P(3)1，4，5,现在给定的序列X(0)有3个数为异常值，分别出现在时刻1，4，5，畸变预测的任务就是要预测第4个，第5个，等异常值将出现在未来哪些时刻。显然，这些时刻的预测值越大，则表明下次出现异常值的时间越远。畸变预测的基本思路就是，通过原始序列X(0)及阈值找出一个畸变日期序列P，由P建立GM(1,1)模型，对畸变日期进行预测。,二、畸变预测的步骤,由原始序列X(0)及阈值，找出畸变日期序列：P=P(1)，P(2)，P(n)对序列P进行光滑性检验：检验P是否满足条件,通常取1，如果大多数(t)满足上式的条件，则认为P是光滑的，可以建立GM(1,1)预测模型。,建立畸变日期序列P的GM(1,1)预测模型：,检验模型（8.4.2）；用检验通过的模型（8.4.2）求未来畸变日期的预测值。,三、畸变预测实例,例6-4已知某地区19591993年旱灾面积统计资料如下表。规定成灾面积大于100万亩为旱灾。试应用灾变预测法预测1994年2000年间发生旱灾的年份。,找出畸变日期序列:P=9,11,12,13,14,15,17,18,21,23,24,29,30,34,畸变日期序列P=P(1)，P(2)，P(3)，P(14)=9,11,12,13,14,15,17,18,21,23,24,29,30,34,可算得：(2)P(2)/P(1)1191.22(3)P(3)/P(1)+P(2)12/（9+11）12/20=0.61(4)P(4)/P(1)+P(3)13/（20+12）13/32=0.41(5)P(5)/P(1)+P(4)14/（32+13）14/45=0.31(6)P(6)/P(1)+P(5)15/（45+14）14/59=0.25(7)P(7)/P(1)+P(6)17/（59+15）14/74=0.23(8)P(8)/P(1)+P(7)18/（74+17）18/91=0.20(9)P(9)/P(1)+P(8)21/（91+18）21/109=0.19(10)P(10)/P(1)+P(9)23/（109+21）23/130=0.18(11)P(11)/P(1)+P(10)24/（130+23）24/153=0.16(12)P(12)/P(1)+P(11)29/（153+24）29/177=0.16(13)P(13)/P(1)+P(12)30/（177+29）30/206=0.15(14)P(14)/P(1)+P(13)34/（206+30）34/236=0.14,对序列P进行光滑性检验：,由上述计算可知畸变日期序列P符合光滑条件,可用于建立GM(1,1)预测模型。,建立畸变日期序列P的GM(1,1)预测模型：由前述计算式直接可得P的累加生成序列：P(1)=9,20,32,45,59,74,91,109,130,153,177,206,236,270又,由此算得参数估计向量:,从而得预测模型:,对模型进行后验差检验:,后验差检验计算表,由表中数据算得:原始序列P(0)(t)的标准差S1=7.77,绝对误差序列(0)(t)的标准差S2=0.392标准差比C=S2/S1=0.392/7.77=0.050.35,对所有t都有,所以,估计小误差概率,故模型精度为一级:好。,预测：由模型求得,于是,即未来3次旱灾出现的年份将是1995年，1999年，2003年。,例6-5（季节灾变预测）某县19781997年初霜日期如下表所示，试预测1997年以后，9月22日前出现初霜的年份。,解与上例不同，这里给出的数据是每年初霜发生的具体日期，这些数据都循环地发生在每年特定的时区或季节内，彼此差异不大，为了提高分辨率，可按下述步骤进行预测。找出最早初霜日期：由上表查得9月10日求相对日期序列：以9月10日为计时起点，将上表给出的初霜日期转化为相对日期序列。如10月5日-9月10日25，10月18日-9月10日38等,求出灾变相对日期序列P：本例给定阈值9月22日1