初中数学常用构造中位线的五种方法

常用构造中位线的五种方法常用构造中位线的五种方法 名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上 的倍分关系因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中 给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线 连接两点构造三角形的中位线 1 1如图，点 B 为 AC 上一点，分别以AB，BC 为边在 AC 同侧作等边三角形 ABD 和等 边三角形 BCE，点 P，M，N 分别为 AC，AD，CE 的中点 (1)求证：PMPN； (2)求MPN 的度数 (第 1 题) 已知角平分线垂直构造中位线 2 2如图，在ABC中，点M为BC的中点，AD为ABC的外角平分线，且ADBD， 若 AB12，AC18，求 DM 的长 (第 2 题) 3 3如图，在ABC中，已知AB6，AC10，AD平分BAC，BDAD于点D，点E 为 BC 的中点，求 DE 的长 (第 3 题) 倍长法构造三角形的中位线 4 4如图，在ABC 中，ABC90，BABC，BEF 为等腰直角三角形，BEF 1 90，M 为 AF 的中点，求证：ME CF. 2 (第 4 题) 已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线 5 5如图，在ABC 中，C90，CACB，E，F 分别为 CA，CB 上一点，CE CF，M，N 分别为 AF，BE 的中点，求证：AE 2MN. (第 5 题) 已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线 6 6如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC 1 于点 N，求证：AN AC. 3 (第 6 题) 答案答案 1 1 1(1)证明：如图，连接 CD，AE.由三角形中位线定理可得 PM 平行且等于 CD，PN 2 1 平行且等于 AE.ABD 和BCE 是等边三角形，ABDB，BEBC，ABDCBE 2 60，ABEDBC. ABEDBC， AEDC.PMPN. (2)解：如图，设PM 交 AE 于 F，PN 交 CD 于 G，AE 交 CD 于 H，AE 交 BD 于 Q.由(1) 知ABEDBC， BAEBDC. 又DQHBQA， AHDABD60， FHG120. 易证四边形 PFHG 为平行四边形， MPN120. (第 1 题) 2 2解：如图，延长 BD，CA 交于 N. (第 2 题) 由题易知NADBAD，ADNADB90.又 ADAD， ANDABD. DNDB，ANAB. 又M 为 BC 的中点， DM 为BNC 的中位线， 111 DM NC (ANAC) (ABAC)15. 222 3 3解：如图，延长 BD 交 AC 于点 F， (第 3 题) AD 平分BAC， BADCAD. BDAD，ADBADF， 又ADAD，ADBADF(ASA) AFAB6，BDFD. AC10， CFACAF1064. E 为 BC 的中点， DE 是BCF 的中位线 11 DE CF 42. 22 1 4 4证明：如图，延长 FE 至 N，使 ENEF，连接 BN，AN.易得 ME AN. 2 EFEN，BEF90，BE垂直平分FN.BFBN.BNFBFN.BEF为 等腰直角三角形，BEF90， BFN45.BNF45， FBN90，即FBAABN90.又FBACBF90， BFBN， CBFABN.在BCF 和BAN 中，CBFABN， BCBA， BCFBAN. 11 CFAN.ME AN CF. 22 (第 4 题) 11 5 5证明：如图，取 AB 的中点 H，连接 MH，NH，则 MH BF，NH AE. 22 CECF，CACB，AEBF. MHNH. 点 M，H，N 分别为 AF，AB，BE 的中点， MHBF，NHAE. AHMABC，BHNBAC. MHN180(AHMBHN)180(ABCBAC)90. NH 2MN. 2 2MN 2MN. 2 AE2NH2 (第 5 题) (第 6 题) 6证明：如图，取 NC 的中点 H，连接 DH，过点 H 作 HEAD，交 BN 的延长线于 E. ABAC，ADBC， D 为 BC 的中点 又H 为 NC 的