初中数学利用特殊四边形的性质巧解折叠问题

利用特殊四边形的性质巧解折叠问题利用特殊四边形的性质巧解折叠问题 名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按 照要求完成相应的计算和证明折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形 全等 平行四边形的折叠问题 1 1在ABCD 中，AB6，AD8，B 是锐角，将ACD 沿对角线 AC 所在直线折 叠，点 D 落在ABC 所在平面内的点 E 处如果 AE 恰好经过 BC 的中点，那么ABCD 的 面积是_ 2 2如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，AE 恰好经过 BC 边的中点若 AB3，BC6，求B 的度数 (第 2 题) 矩形的折叠问题 3 3【中考 衢州】如图，将矩形 ABCD 沿 DE 折叠，使顶点 A 落在 DC 上的点 A 处， 然后将矩形展平，沿 EF 折叠，使顶点 A 落在折痕 DE 上的点 G 处再将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处如图. (1)求证：EGCH； (2)已知 AF 2，求 AD 和 AB 的长 (第 3 题) 菱形的折叠问题 4 4如图，将菱形纸片 ABCD 折叠，使点 A 恰好落在菱形的对角线交点 O 处，折痕为 EF.若菱形的边长为 2，A120，求 EF 的长 (第 4 题) 正方形的折叠问题 5 5【中考 德州】如图，现有一张边长为4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边 上的一点(不与点 A，点 D 重合)将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处， PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP，BH. (1)求证：APBBPH. (2)当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论 (第 5 题) 答案答案 1 112 7点拨：如图，设 AE，BC 的交点为 O，连接 BE，已知 O 是 BC 的中点 (第 1 题) 在ABC 和CDA 中，ABCD，BCDA，ACCA，ABCCDA，则 ABCCEA，ACBCAE，同时，BCAE，即在四边形 ABEC 中，两条对角线相 等在AOC 中，ACBCAE，AOOC，易得 O 是 AE 的中点 四边形ABEC是矩形，在RtAEC中，CEAB6，AEAD8，由勾股定理得AC AE2CE2 82622 7. ABCD 的面积ABAC62 712 7. (第 2 题) 2 2解：设 AE 与 BC 相交于点 F，如图 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC.13. 平行四边形纸片 ABCD 沿对角线 AC 所在直线折叠，点D 落在点 E 处， 23，12.FCFA. F 为 BC 边的中点，BC6， 1 AFCFBF 63. 2 又AB3，ABF 是等边三角形B60. (第 3 题) 3 3(1)证明：由折叠知ADEADE，AEEG，BCCH. 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ABCD. ADEAED.AEDADE. AEAD.EGCH. (2)解：ADE45，FGEA90，AF 2， DG 2，DF2.AD2 2. 如图，由折叠知，12，34， 2490，1390. 1AFE90，3AFE. 又AB90， 由(1)知，AEBC，EFACEB. AFBE.ABAEBEADAF2 2 222 2. 4 4解：如图，连接 BD，AC. (第 4 题) 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AC 平分BAD. BAD120，BAC60. ABO906030. AOB90， 11 AO AB 21. 22 由勾股定理，得 BODO 3. 点 A 沿 EF 折叠与点 O 重合， EFAC，EF 平分 AO. ACBD，EFBD， 易得 EF 为ABD 的中位线， 11 EF BD ( 3 3) 3. 22 5 5(1)证明：PEBE， EBPEPB. 又EPHEBC90， EPHEPBEBCEBP， 即BPHPBC. 又ADBC，APBPBC， APBBPH. (2)解：PDH 的周长不变且为定值 8. 证明如下：过 B 作 BQPH，垂足为 Q.如图 (第 5 题) 由(1)知APBBPH， 又ABQP90，BPBP