同济大学高等数学上期末试卷(2套)

高等数学上高等数学上 期末试卷（基础卷）期末试卷（基础卷） 一填空题（本题满分 15 分，每小题 3 分） 1.极限lim lnsin x x 1sin x _. 2 2.设 x ln1t ,则 dy y t arctant dx | t1 _. 3. 曲线y 2x3x3在 x = 1 处对应的切线方程为： . 4.（ 3 x x3)ex 3 dx _. 5. 常系数齐次线性微分方程y6y13y 0的通解是 _. 二选择题（本题满分 15 分，每小题 3 分）下列每小题给出 4 个答案， 其中只有一个是正确的，请将正确答案的编号填入括号内。 1.设fx 1 x,x 0 sin x ,则x 0为f x的 x ,x 0 _. A 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 连续点 2.设f x xx1x2x3,则 f x在0,3上恰有_零点. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 当x 0时，xxcosx与sin x xcos x是无穷小. A.等价 B.同阶 C.高阶 D.低阶 4. 函数fx lnxa2 x2 lna是. A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 奇偶性取决于a值 5. 微分方程 dy dx exy的通解为. 1 Ay Cex B.y Cee Cy C ln x； D.y Cln xex. 三计算题（本题满分 24 分，共 4 小题，每小题满分 6 分） 1.求I e 2. 2x1 x dx. x0 lim x 0 lncostdt x3 . dy . dx 3. 函数y y(x)由方程y excos y确定，求 4. 求y y tan x sin 2x的通解. 四. （本题 10 分） 设平面区域D由曲线y y 2 2 x x, 直线x x 1 1及y y 0 0所围成, 求 区域D的面积，以及该区域绕y y轴旋转所成旋转体的体积 V. x2y2 五.（本题 10 分）求内接于椭圆 2 2 1而面积最大的矩形的各边之长. ab 六.（本题 10 分）设函数fx ax3bx2 x在x 1取得极大值 5， （1）求常数a和b； （2）求函数f x的极小值. 七.（本题 10 分）求函数y 1 并画出函数的图形. 八.（本题 6 分）设f x二阶可导,且 f00, f x0,证明: fx 在 x 36x 的单调区间，凹凸区间、拐点和渐近线， 2(x3) 0,上单调增加. 2 高等数学上高等数学上 期末试卷（综合卷）期末试卷（综合卷） 一填空题（本题满分 15 分，每小题 3 分） 1. 极限lim cotx x0 12x_. 2. 设f x可导，并且lim f1 f12x x0 x 3，则 f 1_. 设 x t etd2 3. y y t e2t ，求 dx2 _. 4.设 f 23，则函数 y f 2x2在 x 1处的微分为_. 5. 5 5 ln x 1 x2 1sin2x dx _. 二选择题（本题满分 15 分，每小题 3 分）下列每小题给出 4 个答案， 其中只有一个是正确的，请将正确答案的编号填入括号内。 1 函数f x 1e xx 0在 x 0点间断是因为_. x1 x 0 A.f x在x 0点无意义 B.lim x0 fx和 x lim 0 fx都不存在 C.lim x0 fx不存在D.lim x0 fx f0 2. 函数fx 2 x2 4 x26 x2有_个驻点. A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 3. 当x 0时，1cos2x是sin2x的_. A. 高阶无穷小； B. 同阶无穷小，但不是等价无穷小； C. 低阶无穷小； D. 等价无穷小 4. 函数f (x)二阶可导，若f (x0) f (x0) 0，则 . A.f (x0)是极小值; B.f (x0)是极大值; C.f (x0)不是极值; D.不能确定f (x0)是否极值 3 1. 5. 若fxdx FxC，则 fcot x dx _. sin2x A.FcotxC B.FcotxC C.FsinxC D.FsinxC 三计算题（本题满分 24 分，共 4 小题，每小题满分 6 分） x 0axb, 1. 设fx，确定a和b，使得f x在x 0处可导. ln 12x ,x 0 e edt 2.lim. ln1tdt tt 0 x0 x 0 x d2y1 3. 设y yx是方程x y sin y 1确定的隐函数，求 2 . 2dx 4. 求微分方程1 x2dy2xy tan x 0的通解. dx 四.（本题 10 分）求曲线y x2与y x3在第一象限内所围平面图形的面积， 及该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. 五.（本题 10 分）若有一走廊A端宽为a，B端宽为8a，垂直相交（如图） ，今 有一根直线型的细竿，从A端进入，B端移出（不能弯曲） ，试问细竿最长可为 多少？ 六.（本题 10 分）求f (x) xeex(x 0)的单调 8a B端 区间与极值，并求出曲线y f (x)的凹凸区间. 七.（本题 10 分）设x有连续的二阶导 数,00,且满足 1 x x1t 2t6tet dt,求x.