《直线的方向向量与直线的向量方程》课件2.ppt

,书山有路勤为径，学海无崖苦作舟,少小不学习，老来徒伤悲,成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话,天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！,天才在于勤奋，努力才能成功！,勤劳的孩子展望未来,但懒惰的孩子享受现在!,什么也不问的人什么也学不到!,怀天下，求真知，学做人,第三章空间向量与立体几何,3.2空间向量在立体几何中的应用,3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程,一、复习引入,立体几何的基本要素是空间内的点、线、面、体，我们利用空间向量来研究立体几何，关键是先要学会利用向量来表示空间内的点与直线。进而利用空间向量研究空间的点、线、面的位置关系。,二、提出问题,如何确定空间中的点的位置？,确定平面内点的位置，通常采用两个方法“平面直角坐标系内的坐标(x,y)”或“该点相对于某一已知点的方向及距离”。那么，空间内呢？,在空间，我们也可以用“该点的空间直角坐标系内的坐标(x，y，z)”或“在空间中该点相对于某一已知点的方向及距离”来描述。,因此，在空间我们可以用向量确定空间一点的位置或点的集合。,两个词“方向”、“距离”，给我们什么启示？,三、概念形成,概念1.位置向量,已知空间内一点A，决定它的相对位置需再选一定点O(根据情况自己决定)，则向量称作点A的位置向量。,如果O点(也可以称为基点)给定，我们就可以用不同的位置向量表示空间内的不同的点了。,设P是直线上任意一点，则P点应满足，存在一个实数t使得,三、概念形成,概念2.用向量表示直线或点在直线上的位置,我们知道，在平面内一条直线可以由一个点和一个方向来确定，在空间确定一条直线也是如此。也就是说，在空间经过一个点和一个方向有且只有一条直线。,给定点A和一个向量，则经过点A和方向确定直线,称此方程为直线的参数方程。向量称为该直线的方向向量。,三、概念形成,概念2.用向量表示直线或点在直线上的位置,对于空间直线也可以用两点来确定，设直线过A，B两点，O为基点，则为两个基向量。,称此方程为空间直线向量的参数方程。,则对于直线上任意一点P，可以用这两个基向量来表示。,当时，P为线段AB的中点。,直线的向量方程:,O,、都叫做空间直线的向量参数方程,已知点A(2,4,0),B(1,3,3),以的方向为正方向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件:AP:PB=1:2AQ:QB=-2求点P和点Q的坐标.,在数学2立体几何初步中我们学习了空间里的平行关系，即线线平行、线面平行和面面平行。请同学们回忆一下它们的定义、判定定理和性质定理。,三、概念形成,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行,公理4：在空间，平行于同一条直线的两条直线平行。,线面平行的判定定理：平面外的一条直线如果和平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。,面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交的直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。,在空间，我们怎样用向量的方法证明这些平行关系呢？,三、概念形成,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行,1.用向量的方法证明线线平行,设直线和的方向向量分别为和，则,也可写成,设两个不共线向量和与平面共面，直线的一个方向向量为，则,三、概念形成,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行,2.用向量的方法证明线面平行,推论：如果A,B,C三点不共线，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对实数x,y使得成立。,三、概念形成,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行,3.用向量的方法证明面面平行,设两个不共线向量和与平面共面，则,三、概念形成,概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行,例子：,如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，点M，N分别是面对角线A1B与面对角线A1C1的中点。(1)求证：MN/AD1且；(2)求证：MN/侧面AD1。,几何证法,向量证法,三、概念形成,概念4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角,我们用向量的方法也可以求空间两条直线的夹角和证明空间两条直线垂直(当夹角为90时),设直线和的方向向量分别为和，则,设两条直线所成角为，则,三、概念形成,概念4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角,例子：,如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，点M，N分别是B1B与CA1的中点。求证：MNBB1；MNA1C。,三、概念形成,概念4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角,例子：,已知三棱锥O-ABC(如图)，OA=4，OB=5，OC=3，AOB=BOC=60，COA=90，M，N分别是棱OA，BC的中点，求异面直线MN与AC所成角的余弦。,四、应用举例,例1.平行六面体中，O是B1D1的中点，求证：B1C/平面ODC1。,A,B,C,D,A1,B1,D1,C1,立体几何中平行与垂直的位置关系的证明题，应用向量运算的方法，虽然证明过程书写较长，但因不添加辅助线而减少了思考时间。,四、应用举例,例2.如图所示，已知矩形ABCD，PA平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PDA=，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由。,D,A,B,C,P,基础训练,如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；平面EG/平面AC.,六、课堂总结,2.用空间向量证明空间的