2017年电大经济数学基础形考答案

电大【经济数学基础】形成性考核册参考答案 经济数学基础形成性考核册（一） （一） 一、填空题一、填空题 1.lim x0 x sin x _.答案：1 x x 21,x 0 2.设f (x) ，在x 0处连续，则k _.答案 1 k,x 0 3.曲线y x+1 在(1,1)的切线方程是. 答案:y=1/2X+3/2 2_ .答案2x4.设函数f (x 1) x 2x 5，则f (x) _ 5.设f (x) xsin x，则f ( ) _.答案: 二、单项选择题二、单项选择题 1. 当x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） 2 2 2 sin xx2 Aln(1 x)BCe xD xx 1 1 2. 下列极限计算正确的是（B） A.lim x0 x x 1 B.lim x0 x x 1 C.lim xsin x0 1sin x 1 D.lim 1 x xx 3. 设y lg2 x，则dy （B） A 11ln101 dx B dx C dx D dx 2xxln10 xx 4. 若函数 f (x)在点 x0处可导，则(B)是错误的 A函数 f (x)在点 x0处有定义Blim f (x) A，但A f (x0) xx0 C函数 f (x)在点 x0处连续D函数 f (x)在点 x0处可微 5.若f ( ) x，则f (x) （ B）. A 1 x 1111 BCD 22xxxx 三、解答题三、解答题 1计算极限 本类题考核的知识点是求简单极限的常用方法。它包括： 利用极限的四则运算法则； 利用两个重要极限； 利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量) 1 利用连续函数的定义。 x23x 2 （1）lim 2 x1 x 1 分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。 具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计算 解：原式=lim x 21 21(x 1)(x 2) =lim= x1 x 1 x1 (x 1)(x 1)112 x25x 6 （2）lim 2 x2x 6x 8 分析：这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。 具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数的连续性进行计算 解：原式=lim x 3231(x 2)(x 3) =lim x2 x 4 x2(x 2)(x 4) 2 42 （3）lim x0 1 x 1 x 分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。 具体方法是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算 解：原式=lim x0 ( 1 x 1)( 1 x 1) x( 1 x 1) =lim x0 1 x 1 x( 1 x 1) =lim x0 1 1 x 1 = 1 2 2x23x5 （4）lim 2 x3x 2x4 分析：这道题考核的知识点主要是函数的连线性。 35 2 2xx 200 2 解：原式=lim x 24 3 2 3003 xx sin3x （5）lim x0sin5x 分析：这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。 具体方法是：对分子分母同时除以x，并乘相应系数使其前后相等，然后四则运算法则和重要极限进行计算 sin3xsin3x lim 33 x0 3x 313 解：原式=lim 3x x0 sin5xsin5x 51555 lim x0 5x5x x24 （6）lim x2sin(x 2) 分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。 2 具体方法是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重要极限进行计算 解：原式=lim (x 2)(x 2)x 2 lim(x 2)lim 41 4 x2x2x2sin(x 2) sin(x 2) 1xsin b,x 0 x 2设函数f (x) a,x 0， sin x x 0 x 问： （1）当a,b为何值时，f (x)在x 0处极限存在？ （2）当a,b为何值时，f (x)在x 0处连续. 分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。即函数在某点极限存在的充分必要条件是该 点左右极限均存在且相等。二是函数在某点连续的概念。 解： （1）因为f (x)在x 0处有极限存在，则有 x0 lim f (x) lim f (x) x0 f (x) l i m (xs i n b) b 又 l i m x0 x0 1 x f (x) l i ml i m x0 x0 s i nx 1 x 即 b 1 所以当 a 为实数、b 1时，f (x)在x 0处极限存在. （2）因为f (x)在x 0处连续，则有 f (x) l i mf (x) f (0)l i m x0 x0 又f (0) a，结合（1）可知a b 1 所以当a b 1时，f (x)在x 0处连续. 3计算下列函数的导数或微分： 本题考核的知识点主要是求导数或（全）微分的方法，具体有以下三种： 利用导数(或微分)的基本公式 利用导数(或微分)的四则运算法则 利用复合函数微分法 （1）y x 2 log 2 x 2 ，求 y 分析：直接利用导数的基本公式计算即可。 2x2 3 解：y 2x 2 ln2 （2）y x 1 xln2 ax b ，求 y cx d 分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。 解：y (ax b)(cx d)(ax b)(cx d)a(cx d) (ax b)c ad bc = (cx d)2(cx d)2(cx d)2 1 3x 5 ，求 y （3）y 分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。 1 13 2解：y (3x 5) (3x 5)(3x 5) (3x 5)2 22 1 2 13 （4）y x xex，求 y 分析：利用导数的基本公式计算即可。 1 xx 解：y (x )(xe ) x2e xe 2 x 1 2 1 分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。 （5）y esinbx，求dy axaxaxax 解：y (e )sinbx e (sinbx) e (ax)sinbx ecosbx(bx)=ae sinbx becosbx axax ax dy ydx (aeaxsinbx beaxcosbx)dx （6）y e x x，求dy 分析：利用微分的基本公式和微分的运算法则计算即可。 1 x 1 x 13 解：y (e ) (x ) e ( ) x x2 e3 dy ydx ( 2 x2)dx 2x （7）y cosx ex，求dy 2 1 x 3 2 1 x 31 2 e3 2 x2 2x 1 1 x 1 分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算 解：y (cosx)(ex) sin （8）y sin x sinnx，求 y 4 n 2 x( x)ex(x2) 2 sinx 2 x 2xex2 分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算 解：y (sin x)n(sinnx) n(sin x)n1(sin x)cosnx(nx) n(sin x)n1cosx ncosnx （9）y ln(x 1 x2)，求 y 分析：利用复合函数的求导法则计算 解：y 1 x 1 x 1 2 (x 1 x ) 1 2 1 x 1 x2 (1(1 x ) ) 2 1 2 1 11x 1 x21 2 2(1(1 x )2x) = 2222 2 x 1 xx 1 x1 x1 x （10）y 2cot 1 x 13x22x x 1 2 1 6 ，求 y 分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算 解：y (2sin 1 x)(x)(x )( 2) 2 3 2 sin 1 x 11 1 ln2(sin)x2x60 x26 1 s i n x 5 35 2 1 s i n x 111 ln2()( )x cosxx2 1 x 6 5 6 2ln21 3 1 2 x2x6 x c o s x26 4.下列各方程中y是x的隐函数，试求 y 或dy 本题考核的知识点是隐函数求导法则。 （1）x y xy 3x 1，求dy 解：方程两边同时对 x 求导得： (x )(y )(xy)(3x) (1) 2x 2yy y xy3 0 y 22 22 y 2x 3 2y x 2 y x xy dy y dx y 2 x 3 dx （2）sin(x y)e 4x，求 y 解：方程两边同时对 x 求导得： c o sx( y)(x y)e(xy) 4c o sx( y)(1 y)e(y xy) 4 y(cos(x y) xe ) 4cos(x y) ye xyxy xyxy 5 4cos(x y) yexy y xycos(x y) xe 5求下列函数的二阶导数： 本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数 （1）y ln(1 x2)，求 y 解：y 12x 2(1 x ) 221 x1 x 2x2(1 x2)2x(0 2x)22x2 y () 21 x(1 x2)2(1 x2)2 （2）y 1 x x ，求 y 及y(1) 1 x1 1 解：y () (x2)(x2) x2x2 22x 1131 1 1 13 11 3 1 y (x2x2) (x2)()x2x2x2=1 22222244 315353 经济数学基础形成性考核册 （二）（二） （一）填空题 1.若 2. f (x)dx 2x 2x c，则f (x) 2xln2 2. (sinx)dx sin x c. f (x)dx F(x) c，则xf (1 x2)dx 3. 若 1 F(1 x2) c 2 4.设函数 d e 2ln(1 x )dx 0 1 dx 5. 若P(x) 0 x 1 1t2 dt，则P(x) 1 1 x2 . （二）单项选择题 2 1. 下列函数中， （D）是 xsinx 的原函数 A 11 cosx2B2cosx2C-2cosx2D-cosx2 22 1 x 11 d(2x) D dx d x ln2 x 2. 下列等式成立的是（C） Asinxdx d(cosx)Bln xdx d( )C2 dx x 6 3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（C） 2 A cos(2x 1)dx， Bx 1 x dxC xsin 2xdx D x 1 x2 dx 4. 下列定积分中积分值为0 的是（D） A 1 1 2xdx 2B 16 1 dx 15C cosxdx 0D sin xdx 0 5. 下列无穷积分中收敛的是（B） A 1 1 1 xdx B dx CDe dxsinxdx 2 101 xx (三)解答题 1.计算下列不定积分 （1） 3x ex dx 解：原式 ( 3 x 1 e ) dx ln31 ( 3 e )x c （3） x2 4 x 2 dx 解：原式 (x 2)(x 2) x 2 dx 1 2 x2 2x c （5）x 2 x2dx 解：原式 1 2 2 x2d(2 x2) 1 3 3 (2 x2)2 c （7）xsin x 2 dx 解：原式 2xdcos x 2 （2） (1 x)2 x dx 解：原式 1 2x x2 x dx (x -1 13 2 2x2 x2)dx 135 2x2 4 x2 2 x2 35 c （4） 1 1 2x dx 解：原式 11 2 1 2x d(1-2x) 1 2 ln1 2x c （6） sinx x dx 解：原式 2s i n xd x 2cosx c （8）ln(x 1)dx 解：原式 xln(x 1) x x 1 dx 7 xxx 1 2xcos 4cos d( ) xln(x 1) (1 222 x 1)dx xx xln(x 1) x ln(x 1) c 2cos 4sin c 22 2.计算下列定积分 （1） 2 1 1 xdx（2） 12 2 1 e dx 2x 2 1 x 1 x 解：原式 1 解：原式 e d( )(1 x)dx (x 1)dx 1 1 1 x 1 1 (1 x)2 2 15 2 22 （3） 1 1 (x 1)2 2 2 1 e 1 x 1 2 2 1 ee e3 1 x 1 ln x1 dx （4）2xcos2xdx 0 解：原式 2 e3 1 1 d(lnx 1) 解：原式 2xdsin2x 2 02 1 ln x 1 11 e3 xsin2x 0 2 2sin2xd(2x) 4 0 2 1 ln x 1 2 11 4 2 2 cos2x 0 2 42 （5） e 1 xlnxdx （6）(1 xex)dx 0 4 44 1 e 2 解：原式 ln xdx 解：原式dx xdex 00 2 1 1 2 1 e e 4 x lnx 1 xdx 4 4 xex 0 exd(x)22 1 0 1 2 1 2 1 44e e 44ee1 244 4 55e 1 (e21) 4 经济数学基础形成性考核册 （三）（三） （一）填空题 8 1 04 5 1.设矩阵A 3 232 ，则A的元素a23 _.答案：3_ 2 16 1 T 2.设A,B均为 3 阶矩阵，且A B 3，则 2AB=_. 答案： 72 3. 设A,B均为n阶矩阵，则等式(A B)2 A22AB B2成立的充分必要条件是.答案：AB BA 4. 设A,B均为n阶矩阵，(I B)可逆，则矩阵A BX X的解X_.答案：(I B)1A 1 0 1 0 0 1 1 5. 设矩阵A 0 20 ，则A _.答案：答案： 0 2 003 0 0 （二）单项选择题 1. 以下结论或等式正确的是（C C） A若A,B均为零矩阵，则有A B B若AB AC，且A O，则B C C对角矩阵是对称矩阵 D若A O,B O，则AB O 0 0 1 3 2. 设A为34矩阵，B为52矩阵，且乘积矩阵ACB有意义，则C为（A）矩阵 A2 4B4 2C35D53 TT 3. 设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C） A(A B)1 A1 B1，B(AB)1 A1B1CAB BADAB BA 4. 下列矩阵可逆的是（ A） 1 2 3 1 0 1 1 1 1 1 A 023 B 101 CD 0 0 2 2 003123 2 2 2 5. 矩阵A 3 33 的秩是（B B） 4 4 4 A0B1C2D3 三、解答题 1计算 9 （1） 2 10 1 1 2 = 5310 3 5 0 2 1 1 0 0 （2） 0 0 0 003 3 0 （3）1254 =0 1 2 2312 4 2 4 5 1 0 2计算 122143 61 13 2 23 1 3 2 7 2312 4 2 4 5 7 19 7 2 4 5 5 15 2 1 7 120 6 10= 111 00 解 122143 61 13 2 23 1 3 2 7 0 47 3 2 7 3 214 2 3 1 1 2 3 ，B 1 12，求1 3设矩阵A 1 1AB。 0 1 1 0 1 1 解 因为AB A B 231 A 11 01 123 22 1 112 (1)23(1) 2 12 1010 123 232 B 112 0-1-1 0 011011 所以AB A B 20 0 （注意：因为符号输入方面的原因，在题4题 7 的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成； （2）写 成； （3）写成；） 1 2 4 4设矩阵A 2 1 ，确定的值，使r(A)最小。 1 1 0 10 1 2 4 2,3 解： 21 1 1 0 当 2 4 1 2 4 211 1 7 32 1 10 312 0 1 44 2 1 0 47 2 1 0 1 9 0 4 4 4 0 9 时，r(A) 2达到最小值。 4 2 532 5 854 5求矩阵A 1 742 4 112 2 532 5 854 解：A 1 742 4 112 1 3 的秩。 0 3 0 215 312 3 414 1 3 0 1 0 0 1 1 742 5 8543 1,3 2 532 0 3 4 112 42 0 233 1 742 1 7 0 271563 433 0 952 2,3 0 9 0 052 1 00 027156300 0 0 r(A) 2。 6求下列矩阵的逆矩阵： 1 3 2 1 （1）A 3 0 1 1 1 10 0 1 3210 0 1 32 213 311 0 97 232 1010310 解：AI 30 1100 1 1 0 4310 1 10 0 324 1 3210 0 132 1 32 0 11 0 1111 2 21231 112 134 9 0 4310 1 0 0 1 3058 18 1 0011 3 0 102 123 0 1023737 4 9 0 013 0 0134 9 13 6 3 （2）A = 4 21 1 1 2 11 A1 1 1 3 2 37 3 4 9 013 0 13 6310 0 1 0 123 4 21010 解：AI 4 21010 1100 1 1100 1 2 2 013 0 1 0 2,3 0 21 4130 126 1 0 1 214 312 11 013 0 1 0 0 1 1261 0 21 413 0 1 0013 0 1 00 0 32 2 0 11261 231 13 0 10271 0 0101 2 0 0101 2 A - 1 = 13 0 271 012 7设矩阵A 1 2 1 2 3 5 , B 2 3 ，求解矩阵方程XA B 1 21 0 122 解：AI 213 1 0 21 1 05 3 501 12 0 131 0 13 A1 5 2 31 X BA1 125 2 = 1 0 2 3 31 1 1 四、证明题 1试证：若B 1,B2 都与A可交换，则B 1 B 2 ，B1B2也与A可交换。 证：B1A AB1， B 2 A AB 2 B1 B2 A B 1 A B 2 A AB 1 AB 2 AB 1 B 2 即 B 1 B 2 也与A可交换。 B 1B2 A B 1 B 2 A B 1 AB 2 B 1 AB 2 AB 1B2 即 B 1B2 也与A可交换. 2试证：对于任意方阵A，A AT，AAT, ATA是对称矩阵。 证： A AT T AT AT T AT A A AT 12 2 1 A A是对称矩阵。 (AAT)T=AT T T T AT AAT AA是对称矩阵。 ATA T T AT AT T ATA A A是对称矩阵. 3设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB BA。 证：必要性： A A ， B B 若AB是对称矩阵，即AB AB T TT 而AB B A BA因此AB BA TT 充分性： 若AB BA，则AB BTAT BA AB T AB是对称矩阵. 4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B 证：A AB T1 1 BT ，证明B1AB是对称矩阵。 BT 1 T B1AB 1 ABB T T BT AT BT T B1AB B AB是对称矩阵. 证毕. 经济数学基础形成性考核册 （四）（四） （一）填空题 1.函数f (x) 4 x 2 1 的定义域为_。答案：(1,2) 2,4 . ln(x 1) 2. 函数y 3(x 1)的驻点是_，极值点是，它是极值点。答案：x=1； （1，0） ；小。 3.设某商品的需求函数为q(p) 10e p 2，则需求弹性E p .答案：E p = p 2 13 4.行列式 1 D 1 1 11 11 _ 11 1 A 0 0 1 .答案：4. 5. 设线性方程组AX b，且 6 ，则t _时，方程组有唯一解. 答案：t 132 0t 1 0 1 1. （二）单项选择题 1. 下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（B） AsinxBe x Cx 2 D3 x 2. 设f (x) 1 ，则f ( f (x) （C） x 11 2 AB 2 CxDx xx xx 1e e11 exex dx 0 B dx 0 Cxsin xdx 0D(x2 x3)dx 0A 11-1-1 22 1 3. 下列积分计算正确的是（A） 4. 设线性方程组AmnX b有无穷多解的充分必要条件是（D） Ar(A) r(A) mBr(A) nCm nDr(A) r(A) n x 1 x 2 a 1 5. 设线性方程组 x 2 x 3 a 2 ，则方程组有解的充分必要条件是（C） x 2x x a 233 1 Aa1 a2 a3 0Ba1a2 a3 0Ca1 a2a3 0D a1 a2 a3 0 三、解答题 1求解下列可分离变量的微分方程： (1)y exy 解: dy exey ,eydy exdx eydy exdx , ey ex c dx dyxex （2） 2dx3y 解: 3y dy xe dx 2x3y2x3xx3xxdy xd ey xe e dxy xe e c 2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）y 2 y (x 1)3 x 1 14 解:y e 2 dx x1 2 3 x1dx x 1e e2lnx1 dx c x 1e 3 2lnx1dx c x 1 2x 1dx c x 1 2 1 x 12 c 2 （2）y 解:y e y 2xsin 2x x 1 dx 2 x sin 2 x e xdx c eln x 1 dx x 2xsin 2xeln xdx c 1 x 2xsin2xdx c xsin 2xd2x c xcos2x c x 3.求解下列微分方程的初值问题： (1)y e2xy ,y(0) 0 dye2x 解： dxey y2xe dy edx e y 1 2xe c 2 用x 0, y 0代入上式得： 1 0 1 e c， 解得c 22 1 2x 1 y 特解为：e e 22 e 0 (2)xy y e 0,y(1) 0 解：y x 11 y ex xx 11 x dx e x dx x dx cy e x e eln x 1 xln x e edx c x xx 1 x e dx c 1 e x c 用x 1, y 0代入上式得： 15 0 e c 解得：c e 特解为：y 1 xe c x （注意：因为符号输入方面的原因，在题4题 7 的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成； （2）写 成； （3）写成；） 4.求解下列线性方程组的一般解： 2x 3 x 4 0 x 1 （1） x1 x2 3x3 2x4 0 2x x 5x 3x 0 234 1 2 1 2 1 1 0 1 0 211 0111 321 312 解：A= 1 132 2 15 3 0 11 1 所以一般解为 1 02 1 0 111 0 0 00 x 1 2x 3 x 4 其中x3,x4是自由未知量。 x 2 x 3 x 4 2x 1 x 2 x 3 x 4 1 （2）x1 2x2 x3 4x4 2 x 7x 4x 11x 5 234 1 2 111 1 1,2 解：A 1 2142 1 7 411 5 2 1 214 2 212 1 214 2 1111 311 0 5373 3 1 7 411 5 0 537 2 1 214 1 0 5373 2 321 5 00 0 0 0 1 21 3 01 0 00 5 4 7 5 0 2 3 5 0 11 0 5 3 122 0 1 5 0 00 6 5 7 5 0 4 5 3 5 0 416 x x 1 55 3 5 x 4 因为秩A 秩 A=2，所以方程组有解，一般解为 337 x 2 x 3 x 4 555 其中x3,x4是自由未知量。 5.当为何值时，线性方程组 16 x 1 x 2 5x 3 4x 4 2 2x 1 x 2 3x 3 x 4 1 3x 1 2x 2 2x 3 3x 4 3 7x1 5x 2 9x 3 10 x 4 有解，并求一般解。 1154 2 212 542 21 3 13 11 解：A 131 4 13 1393 3223 3 0 1 011393 7 5910 0 2261814 1 15420851 1 321 4220 11393 0 11393 121 0000 0 0000 0 0008 0 0 0008 可见当 8时，方程组有解，其一般解为 x 1 18x 3 5x 4 x 其中x3,x4是自由未知量。 2 313x 3 9x 4 6a,b为何值时，方程组 x 1 x 2 x 3 1 x1 x2 2x 3 2 x1 3x 2 ax 3 b 有唯一解、无穷多解或无解。 1 11 1 21111 1 解： A 11 1 1 22 1 3 110 211 322 0 2 1 3a b 0 4a 1b 1 0 0 根据方程组解的判定定理可知： 当a 3，且b 3时，秩 A秩 A，方程组无解； 当a 3，且b 3时，秩 A=秩 A=23，方程组有无穷多解； 当a 3时，秩 A=秩 A=3，方程组有唯一解。 7求解下列经济应用问题： （1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q) 1000.25q26q（万元）, 求：当q 10时的总成本、平均