大学物理实验测量误差及数据处理

二、实验物理课程基本训练的有关程序1、实验前预习预习内容包括：（1）实验名称；（2）实验目的；（3）仪器设备；（4）基本原理，包括重要的计算公式、电路图、光路图及简要的文字说明；（5）数据表格。,3、写实验报告一份完整的实验报告通常包括以下内容：（1）实验名称；（2）实验目的；（3）仪器设备；（4）基本原理，包括重要的计算公式、电路图、光路图及简要的文字说明；（5）数据表格及处理（包括计算和作图），这里的“数据表格”不同与预习报告中的“数据草表”，应该另行正规画出，并把草表记录的原始数据填入数据表格中。（6）实验结果；（7）思考与创意；预习报告中的“数据草表”，应作为附件，附于实验报告中。,第一章测量误差及数据处理方法,1.1测量与误差关系,1.2测量结果误差估算及评定方法,1.3直接测量结果误差估算及评定方法,1.4间接测量结果误差估算及评定方法,1.5有效数字及其运算,1.6常用数据处理方法,测量：就是用一定的测量工具或仪器，通过一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。,一、测量,Q:我们接触过哪些测量？哪些是直接测量？哪些是间接测量？,二、误差,2、误差来源（1）仪器误差（2）环境误差（3）测量方法误差（4）人员误差,3、误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差）,（1）系统误差同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量特点：确定性产生原因：仪器本身的缺陷、环境因素、测量方法的不完备、测量者的不良习惯或动态滞后等。,（2）随机误差同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量特点（a）测量次数不多情况下随机误差没有规律;（b）大量测量时随机误差服从统计规律，很多服从正态分布。,正态分布特点：（1）绝对值小的误差出现的概率大（2）绝对值相等的正负误差出现的概率相等，所以用多次测量取平均的方法可以减小随机误差（3）绝对值很大的误差出现的概率趋于零曲线下面积为1，曲线越窄，峰越高，随机误差越小。,误差来源：环境条件、测量仪器、测量人员等。,正态分布曲线,（3）粗大误差明显超出规定条件下预期的误差特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。产生原因：错误读数、使用有缺陷的器具、使用仪器方法不对等。,（1）绝对误差,（2）相对误差（百分误差）,4、测量结果表示,结果表示：,问:有了绝对误差，为什么还要引入相对误差呢？,答:绝对误差反映的是误差本身的大小，但它不能反映误差的严重程度。,2m,20m,例:两个绝对误差如下，哪个大，哪个严重？,我们不知道它们是在什么测量中产生的，所以难以回答。,注意：绝对误差大的，相对误差不一定大,如果它们分别对应下面两个测量，情况又怎样？,100米跑道,2m,20m,地月间距38.4万公里,5、精密度、正确度与准确度（又称精确度）,精密度反映随机误差（测量值离散程度）正确度反映系统误差（测量值偏离真值程度）准确度反映综合误差,正确度较高、精密度低,精密度高、正确度低,准确度高,1.2测量结果误差估算及评定方法对N进行K次测量，得N1，N2Nk用算术平均值：作为真值的最佳估计，评定其可靠性的方法有三种。,1算术平均偏差,结果可表示为：,（2）平均值的标准偏差：,（1）测量列的实验标准差：,2标准偏差（均方根偏差）,拓：标准偏差是一个描述测量结果离散程度的参量，反映了测量的精密度，只考虑随机误差。,68.3%,95.4%,99.7%,当系统误差、粗大误差已消除，随机误差服从正态分布,A类分量（用统计的方法计算）u：,B类分量（用其他方法计算）u：,合成不确定度,测量结果表示为：,相对不确定度：,3不确定度,仪器的极限误差,置信系数,1.3直接测量误差估算及评定一、单次测量误差估算及评定单次测量结果的误差估算常以测量仪器误差来评定。仪器误差：已标明（或可明确知道）的误差未标明时，可取仪器及表盘上最小刻度的一半作误差。电学仪器根据仪器的精度来考虑如电表：,例:如用一个精度为0.5级，量程为10A的电流表，单次测量某一电流值为2.00A，试用不确定度表示测量结果。,解：u=10A05=005AI=（200005）A,二、多次测量结果的误差估算及评定程序：1、求平均值。2、求或或u。3、表示结果。（例如用u，则结果为）,例（书P21）,1.4间接测量结果误差的估算及评定一、一般的误差传递公式N=f(x，y，z),(1.4-6),(1.4-7),二、标准偏差的传递公式（方和根合成）,(1.4-8),(1.4-9),不确定度,相对不确定度,三、不确定度的传递公式,表1.4-1某些常用函数的不确定度传递公式,总结间接测量结果用不确定度评定的基本步骤：（1）计算各直接测量量的不确定度；（2）根据公式（1.48）或（1.49）计算间接测量量的不确定度（保留1位有效数字），或相对不确定度（保留12位有效数字）；（3）求出间接测量量N（将直接测量值的最佳值代入函数关系式），N的末位与不确定度所在位对齐；（4）写出结果。注意单位不要漏写,例1:用一级千分尺（）测量某一圆柱体的直径D和高度H，测量数据见表1.4-2，求体积V并用不确定度评定测量结果。,表1.4-2,解：（1）计算直接测量值D、H的不确定度,（a）,（b）A类不确定度,B类不确定度,（c）,（d）估算uD和uH,（2）求V和uv,（3）写出结果,1.5有效数字及其运算一、什么叫有效数字一般有效数字是由若干位准确数字和一位可疑数字（欠准数字）构成。,注意:,（1）同一物体用不同精度的仪器测，有效数字的位数是不同的，精度越高，有效数字的位数越多,（2）有效位数与十进制单位的变换无关,如：最小分度被测量长有效数字位数米尺1mm12.06cm4游标卡尺0.02mm12.060cm5螺旋测微器0.01mm12.0600cm6,如：12.06cm=0.1206m=0.0001206km有效位数都是4,（3）表示小数点位数的“0”不是有效数字；数字中间的“0”和数字尾部的“0”都是有效数字；数据尾部的“0”不能随意舍掉，也不能随意加上,如：900v=9.00102v=9.00105mv=9.0010-1kv,二、有效数字运算规则,、加减运算尾数对齐在小数点后所应保留的位数与诸量中小数点后位数最少的一个相同。【P29，例8】,如：11.4+2.56=13.96=14.075-10.356=75-10.4=64.6=65,原则：准确数字之间进行四则运算仍为准确数字；可疑数字与准确数字或可疑数字之间运算结果为可疑数字；运算中的进位数可视为准确数字,如：40009.0=3.61042.0000.10=20,、乘除运算位数对齐结果有效数字的位数，一般与诸量中有效数字位数最少的一个相同。【p29例9、10】,3、某些常见函数运算的有效位数（1）对数函数尾数的位数取得与真数的位数相同；,（2）指数函数的有效数字，可与指数的小数点后的位数（包括紧接在小数点后的零）相同；,（4）常数或倍数，如，e，1/3等，有效位数可以认为是无限的，实际计算中一般比运算中有效数字位数多取1位；,4、当诸量进行加减、乘除混合运算时，有效数字应遵循加减、乘除运算规则逐步取舍,如：,2、最佳值或测量值末位与不确定度末位对齐。,三、不确定度和测量结果的数字化整规则,1、不确定度的有效位数12位本书约定:不确定度只保留1位。相对不确定度12位。尾数采用四舍六入五凑偶的原则如：1.4=1，1.6=2，1.5=2，2.5=2,小结,实验中如何确定数据的有效位数？在实验中我们所得的测量结果都是可能含有误差的数值，对这些数值不能任意取舍，应反映出测量值的准确度。所以在记录数据、计算以及书写测量结果时，应根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟应取几位有效位数。,1.直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度,游标类器具（游标卡尺、分光计度盘、大气压计等）一般读至游标最小分度的整数倍，即不需估读。,数显仪表及有十进步式标度盘的仪表（电阻箱、电桥、电位差计、数字电压表等）一般应直接读取仪表的示值。,1.直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度,指针式仪表及其它器具，读数时估读到仪器最小分度的1/21/10，或使估读间隔不大于仪器基本误差限的1/51/3。,1.直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度,注意指针指在整刻度线上时读数的有效位数。,1.直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的准确度,2.中间运算结果的有效位数,用计算器或计算机进行计算时中间结果可不作修约或适当多取几位（不能任意减少）。加减运算遵循尾数对齐原则如11.4+2.56=14.075-10.356=65乘除运算遵循位数对齐原则如40009.0=3.61042.0000.10=2.0当诸量进行加减、乘除混合运算时，有效数字应遵循加减、乘除运算规则逐步取舍,3.测量结果表达式中的有效位数,总不确定度u的有效位数我们约定取1位相对不确定度Eu的有效位数我们约定取12位例：估算结果u=0.548mm时，取为u=0.5mm,被测量值有效位数的确定Yyu中，被测量值y的末位要与不确定度u的末位对齐（求出y后先多保留几位，求出u，由u决定y的末位）,不确定度分析结果,最终结果为：V=9.440.08cm3即：不确定度末位在小数点后第二位，测量结果的最后一位也取到小数点后第二位。,例：环的体积,1.列表法,2.作图法,3.数学方法（逐差法、最小二乘法等）,1.6常用的数据处理方法,一、列表法列表法是将实验上得到的数据按一定的规律列成表格。优点：能使物理量之间对应关系清晰明了，有助于发现实验中的规律，也有易于发现实验中的差错，列表法又是其他数据处理的基础应当熟练掌握。,列表要求：,（1）各栏目（纵及横）均应标明名称和单位。（2）原始数据应列入表中，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可列入表中。（3）栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算的程序，力求简明、齐全、有条理。（4）若是函数关系测量的数据表，应按自变量由小到大（或由大到小）的顺序排列。（5）必要时附加说明,例：p32,作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。,1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。根据表数据U轴可选1mm对应于0.10V，I轴可选1mm对应于0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）约为130mm130mm。,作图步骤：实验数据列表如下.表1：伏安法测电阻实验数据,二、作图法,2.标明坐标轴：用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。,5.标出图线特征：在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻R大小：从所绘直线上读取两点A、B的坐标就可求出R值。,电阻伏安特性曲线,6.标出图名：在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。,由图上A、B两点可得被测电阻R为：,至此一张图才算完成,不当图例展示：,曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。,改正为：,横轴坐标分度选取不当。横轴以3cm代表1V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1mm代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。,改正为：,图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。,改正为：,三、逐差法,逐差法是对等间距测量的有序数据，进行逐项或相等间隔相减得到结果。它计算简便，并可充分利用数据，及时发现差错，总结规律，是物理实验中常用的一种数据处理方法。,使用条件：（1）自变量x是等间距变化（2）被测物理量之间函数形式可以写成x的多项式：,应用举例（拉伸法测弹簧的倔强系数）,设实验中，等间隔的在弹簧下加砝码（如每次加一克），共加9次，分别记下对应的弹簧下端点的位置L0L1L2L9，则可用逐差法进行以下处理,（1）验证函数形式是线性关系,看L1L2L9是否基本相等。当Li基本相等时,就验证了外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的，即F=kL,在验证函数表达式的形式时要用逐项逐差，而不要用分组逐差，这样可以检验每个数据点之间的变化是否符合规律，而不致发生假象，即规律性不被平均效果掩盖起来。,（2）求物理量数值,现计算每加一克砝码时弹簧的平均伸长量,从上式可看出用逐项逐差，中间的测量值全部抵消了，只有始末二次测量起作用，与一次加九克砝码的测量完全等价。,若用逐项逐差（1.61）得到：,再求平均,为了保证多次测量的优点，只要在数据处理方法上作些组合，仍能达到多次测量减小误差的目的。所以我们采用分组逐差。,通常可将等间隔所测的值分成前后两组，前一组为L0L1L2L3L4后一组为L5L6L7L8L9,前后两组对应项相减,再取平均值,由此可见，分组逐差和逐项逐差不同，这时每个数据都用上了，有利于减小误差。但注意：这里的是增加五克时弹簧的平均伸长量。,四、最小二乘法与直线拟合,作图法对直线或曲线的拟合带有相当大的主观性，用最小二乘法拟合要优于作图法。,最小二乘法线性拟合原理：若能找到一条最佳的拟合直线，那么这条直线上各相应点的值与测量值之差的平方和在所有拟合直线中最小。,通过实验，等精度地测得一组互相独立的实验数据（xi，yi，i=1，2k），设这两个物理量x、y满足线性关系，且假定实验误差主要出现在yi上，设拟合直线公式为y=a0+a1x,按最小二乘法原理，应使下式最小,则测